Dimostrazione di alcune disuguaglianze
Buonasera a tutti!
Devo dimostrare le seguenti disuguaglianze:
$sinx<=x$ e $cosx>=1-x^2/2$.
Per entrambe, il testo riporta la condizione: $AA x in[-pi/2;pi/2]$.
Ebbene, le disuguaglianze si dimostrano molto facilmente... non è questo il problema. Solo che ho fatto alcune osservazioni: la prima disuguaglianza è valida $AA x in[0;+oo]$ e la seconda $AA x inRR$. Perchè il testo dell'esercizio riporta quelle limitazioni? Si tratta di affermazioni fra loro compatibili?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo dimostrare le seguenti disuguaglianze:
$sinx<=x$ e $cosx>=1-x^2/2$.
Per entrambe, il testo riporta la condizione: $AA x in[-pi/2;pi/2]$.
Ebbene, le disuguaglianze si dimostrano molto facilmente... non è questo il problema. Solo che ho fatto alcune osservazioni: la prima disuguaglianza è valida $AA x in[0;+oo]$ e la seconda $AA x inRR$. Perchè il testo dell'esercizio riporta quelle limitazioni? Si tratta di affermazioni fra loro compatibili?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Ma sei sicuro che la prima valga in $[-pi/2, 0]$? Scusami, prendi $x=-pi/2$: adesso, $sin(-pi/2)=-1$, che non mi pare più piccolo di $-pi/2$, che è circa $-1,5$. Ci andrà un valore assoluto da qualche parte? Comunque per quanto riguarda gli intervalli, non penso siano obbligatori quelli... probabilmente il libro li mette perchè vuole farti capire che sono intorni di $0$ (se le disuguaglianze le devi dimostrare sfruttando i limiti). L'ultima mia affermazione è comunque da verificare.
Le disuguaglianze andrebbero dimostrate sfruttando le derivate. L'osservazione da te effettuata riguardo la prima per l'intervallo $[-pi/2;0]$ la condivido pienamente... Non saprei...
Gli esercizi li ho presi da una dispensa... In caso posso passare il link...
Gli esercizi li ho presi da una dispensa... In caso posso passare il link...
Per quanto riguarda il valore assoluto nella disuguaglianza con il seno, la risposta è affermativa: la disuguaglianza $sinx<=|x|$ è vera $\forall x \in RR$, basta che disegni le due curve in un piano cartesiano... che stupido, non mi è venuto in mente subito!
Caspita, battuto secco sul tempo (non vorrai mica fare come Bolt???). Se puoi passare il link mi faresti un piacere... GRAZIE
"Paolo90":
Per quanto riguarda il valore assoluto nella disuguaglianza con il seno, la risposta è affermativa: la disuguaglianza $sinx<=|x|$ è vera $\forall x \in RR$, basta che disegni le due curve in un piano cartesiano...
Certo... se si considera però, come hai giustamente notato, $sinx<=|x|$. Purtroppo il caso proposto è diverso...
"Andrea90":
[quote="Paolo90"]Per quanto riguarda il valore assoluto nella disuguaglianza con il seno, la risposta è affermativa: la disuguaglianza $sinx<=|x|$ è vera $\forall x \in RR$, basta che disegni le due curve in un piano cartesiano...
Certo... se si considera però, come hai giustamente notato, $sinx<=|x|$. Purtroppo il caso proposto è diverso...[/quote]
Scusa, ma non ho capito. Io volevo dire che in $[-pi/2,0]$ la disuguaglianza che hai scritto tu è falsa. Quella valida in tutto l'intervallo $[-pi/2, pi/2]$ (e anche in tutto $RR$) è quella che ho scritto io. Forse non mi sono spiegato bene, scusa.
Il link è il seguente:
http://www.mat.uniroma1.it/people/danco ... tolo04.pdf.
Precisamente, pag. 25-26!
http://www.mat.uniroma1.it/people/danco ... tolo04.pdf.
Precisamente, pag. 25-26!
"Paolo90":
[quote="Andrea90"][quote="Paolo90"]Per quanto riguarda il valore assoluto nella disuguaglianza con il seno, la risposta è affermativa: la disuguaglianza $sinx<=|x|$ è vera $\forall x \in RR$, basta che disegni le due curve in un piano cartesiano...
Certo... se si considera però, come hai giustamente notato, $sinx<=|x|$. Purtroppo il caso proposto è diverso...[/quote]
Scusa, ma non ho capito. Io volevo dire che in $[-pi/2,0]$ la disuguaglianza che hai scritto tu è falsa. Quella valida in tutto l'intervallo $[-pi/2, pi/2]$ (e anche in tutto $RR$) è quella che ho scritto io. Forse non mi sono spiegato bene, scusa.[/quote]
Ti sei spiegato benissimo... e concordo con quanto da te asserito!
Ho letto e non saprei dire. La scrittura è palesemente errata, si vede che sarà un refuso del testo. Comunque, hai capito come si farebbe con le derivate? Hai capito l'esempio proposto dal libro e il "meccanismo"?
Resto comunque dell'idea che comunque in questo caso è molto semplice dimostrare la disuguaglianza graficamente: quello che viene fuori è la lipschtzianità della funzione seno di $x$.
Resto comunque dell'idea che comunque in questo caso è molto semplice dimostrare la disuguaglianza graficamente: quello che viene fuori è la lipschtzianità della funzione seno di $x$.
Conosci la disuguaglianza di Huygens?
$2sinx+tanx>=3x$, $forall 0
Potresti provare a dimostrare questa disuguaglianza con -appunto- metodi analitici. A mio avviso è un esercizio molto istruttivo ed è della serie di quelli che forse cercavi tu.
Vedi tu.
Ciao,
Paolo
$2sinx+tanx>=3x$, $forall 0
Potresti provare a dimostrare questa disuguaglianza con -appunto- metodi analitici. A mio avviso è un esercizio molto istruttivo ed è della serie di quelli che forse cercavi tu.
Vedi tu.
Ciao,
Paolo
Paolo, intanto mi scuso per il ritardo con cui rispondo.
Per quanto riguarda l'idea di dimostrazione proposta dall'autore della dispensa l'ho capita bene. L'unico problema era l'intervallo di validità che veniva fornito. In ogni caso, ho tutto più chiaro. Anche io ero sempre più convinto che fosse un'errore del testo.
Grazie!
Andrea
Per quanto riguarda l'idea di dimostrazione proposta dall'autore della dispensa l'ho capita bene. L'unico problema era l'intervallo di validità che veniva fornito. In ogni caso, ho tutto più chiaro. Anche io ero sempre più convinto che fosse un'errore del testo.
Grazie!
Andrea
"Andrea90":
Paolo, intanto mi scuso per il ritardo con cui rispondo.
Per quanto riguarda l'idea di dimostrazione proposta dall'autore della dispensa l'ho capita bene. L'unico problema era l'intervallo di validità che veniva fornito. In ogni caso, ho tutto più chiaro. Anche io ero sempre più convinto che fosse un'errore del testo.
Grazie!
Andrea
Prego, figurati.
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