Dimostrazione della proprietà transitiva in una relazione

Andrel1
Ciao a tutti, vi chiedo una mano. Quest'anno ho iniziato il liceo scientifico e ho un forte dubbio riguardo le relazioni. Potreste spiegarmi come si può dimostrare la presenza/assenza della proprietà transitiva?
In particolare c'è un esercizio che mi manda in crisi:
C'è un insieme: A={1,2,3,4,5}
C'è una relazione: x R y se e solo se x+y= 2n e n appartiene a N, ovvero x è in relazione con y se e solo se la somma di x e y è un numero naturale pari.
Verifica che questa relazione sia d'equivalenza.
Spero riusciate a togliermi questa incertezza. Vi ringrazio in anticipo.

Risposte
axpgn
Premesso che quando hai un insieme finito di pochi elementi puoi sempre fare la verifica caso per caso (che può tornarti utile come conferma o meno del tuo ragionamento), in questo caso puoi notare che affinché due elementi siano in relazione devono essere della stessa parità (entrambi pari od entrambi dispari).
È riflessiva: $x$ ha la stessa parità di sé stesso .
È simmetrica: se $x$ e $y$ hanno la stessa parità allora anche $y$ e $x$ avranno la stessa parità.
È transitiva: se $x$ e $y$ sono tutti e due pari (o tutti e due dispari) ed anche $y$ e $z$ hanno la stessa parità allora $x$ ha la stessa parità di $z$ e quindi sono in relazione.

Cordialmente, Alex

gugo82
In questo caso è molto semplice ragionare su una rappresentazione della relazione, ad esempio un grafo orientato.

Per costruire il grafo è chiaro che devi capire come è fatta la relazione, cioè individuare esplicitamente quali elementi sono in relazione con quali altri.
Questo è molto semplice, perché i numeri dispari sono tutti in relazione tra loro ed i numeri pari sono tutti in relazione tra loro (perché la somma di due dispari o di due pari è un numero pari), ma nessun numero dispari è in relazione con nessun numero pari e viceversa (perché la somma di un pari e di un dispari è un numero dispari)[nota]Questi ragionamenti sulla parità o disparità (come quelli sulla positività o negatività) sono molto importanti: non perdere mai l’abitudine di farli, quando possibile (ed utile). :wink:[/nota]; dunque $1,3,5$ sono tutti in relazione tra loro (e con loro stessi) e $2,4$ sono in relazione tra loro (e con loro stessi).
Mettendo tutto su grafico, ottieni qualcosa del genere:



e di qui è semplice vedere che la relazione è:

    [*:3od5xjtd] riflessiva (ci sono tutti gli archi $a->a$),

    [/*:m:3od5xjtd]
    [*:3od5xjtd] simmetrica (per ogni arco $a->b$ c’è anche l’arco opposto $b->a$),

    [/*:m:3od5xjtd]
    [*:3od5xjtd] transitiva (ogni possibile percorso “in due tappe” $a->b->c$[nota]Osserva che qualche tappa può partire ed arrivare nello stesso punto.[/nota] può essere fatto anche “in una sola tappa” $a->c$).[/*:m:3od5xjtd][/list:u:3od5xjtd]

    Quindi la relazione è di equivalenza.

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