Dimostrazione.. dalla fine!
Ho questo esercizio:
"Siano $x,y,z$ e $alpha,beta,gamma$ numeri reali tali che
$alpha*z-2beta*y+gamma*x=0$, $alpha*gamma-beta^2>0$
Dimostrare che
$x*z-y^2<=0$"
Io sono partita dalla fine, ovvero ho dimostrato questa cosa con passaggi che non ritengo affatto leciti (quindi ho sicuramente sbagliato), però in quel $2*beta$ e $beta^2$, e in quel $alpha*z+gamma*x$ e $alpha*gamma$ e $x*z$, ci ho visto lo zampino del logaritmo.
Io ho fatto questi passaggi, convinta di fare qualcosa di non accettabile:
$alpha*z+gamma*x=2beta*y$
$log(alpha*z)+log(gamma*x)=2log(beta*y)$
$log[(alpha*z)(gamma*x)]=log(beta^2y^2)$
$(alpha*z)(gamma*x)=beta^2y^2$ e siccome $alpha*gamma>beta^2$
$z*x<=y^2$
$z*x-y^2<=0$
Quando passo ai logaritmi sto applicando una regola che non esiste, vero?
"Siano $x,y,z$ e $alpha,beta,gamma$ numeri reali tali che
$alpha*z-2beta*y+gamma*x=0$, $alpha*gamma-beta^2>0$
Dimostrare che
$x*z-y^2<=0$"
Io sono partita dalla fine, ovvero ho dimostrato questa cosa con passaggi che non ritengo affatto leciti (quindi ho sicuramente sbagliato), però in quel $2*beta$ e $beta^2$, e in quel $alpha*z+gamma*x$ e $alpha*gamma$ e $x*z$, ci ho visto lo zampino del logaritmo.
Io ho fatto questi passaggi, convinta di fare qualcosa di non accettabile:
$alpha*z+gamma*x=2beta*y$
$log(alpha*z)+log(gamma*x)=2log(beta*y)$
$log[(alpha*z)(gamma*x)]=log(beta^2y^2)$
$(alpha*z)(gamma*x)=beta^2y^2$ e siccome $alpha*gamma>beta^2$
$z*x<=y^2$
$z*x-y^2<=0$
Quando passo ai logaritmi sto applicando una regola che non esiste, vero?
Risposte
"elios":
$alpha*z+gamma*x=2beta*y$
$log(alpha*z)+log(gamma*x)=2log(beta*y)$
Quando passo ai logaritmi sto applicando una regola che non esiste, vero?
L'errore è qui.
Il logaritmo di una somma è diverso dalla somma dei logaritmi.
Sì, sono d'accordo. Ma il mio vederci i logaritmi nella risoluzione di questa dimostrazione è sbagliato?
Io l'ho risolta così
Dalla prima ipotesi ho ricavato la y cioè $y=(alpha*z+gamma*x)/(2*beta)$ e dalla seconda la relazione $beta^2<=alpha*gamma$
e l'ho sostituita nella disequazione
$xz-y^2=xz-((alpha*z+gamma*x)/(2*beta))^2=xz-(alpha^2*z^2+2*alpha*gamma*xz+gamma^2*x^2)/(4*beta^2)=((4*beta^2-2*alpha*gamma)xz-alpha^2*z^2-gamma^2*x^2)/(4*beta^2)<$ sfruttando la condizione dedotta dalla seconda ipotesi $<((4*alpha*gamma-2*alpha*gamma)xz-alpha^2*z^2-gamma^2*x^2)/(4*beta^2)=-((alpha*z-gamma*x)/(2*beta))^2<=0
Non mi viene in mente un metodo che possa utilizzare i logaritmi.
Dalla prima ipotesi ho ricavato la y cioè $y=(alpha*z+gamma*x)/(2*beta)$ e dalla seconda la relazione $beta^2<=alpha*gamma$
e l'ho sostituita nella disequazione
$xz-y^2=xz-((alpha*z+gamma*x)/(2*beta))^2=xz-(alpha^2*z^2+2*alpha*gamma*xz+gamma^2*x^2)/(4*beta^2)=((4*beta^2-2*alpha*gamma)xz-alpha^2*z^2-gamma^2*x^2)/(4*beta^2)<$ sfruttando la condizione dedotta dalla seconda ipotesi $<((4*alpha*gamma-2*alpha*gamma)xz-alpha^2*z^2-gamma^2*x^2)/(4*beta^2)=-((alpha*z-gamma*x)/(2*beta))^2<=0
Non mi viene in mente un metodo che possa utilizzare i logaritmi.
Ho capito. Beh, il mio era solo un errore. 
Grazie!
Grazie!
Prego, ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo