Dimostrazione con Lagrange
Buonasera ho bisogno di un mano per risolvere questo problema...
Dimostra utilizzando il teorema di Lagrange che $ 1/(t+1) < ln ((t+1)/t) < 1/t $ per ogni $ t>0 $
Ho posto $ f(t) = ln((t+1)/t) $ e ho trovato che $ f'(t) = 1/(t+1) - 1/t $. Inoltre ho constatato che $ f(t) > 0 $ e che $ f'(t) < 0 $, entrambi per ogni $ t>0 $ (cioè l'intervallo da considerare).
La funzione poi é continua e derivabile in $ (0; +oo) $ quindi il teorema di Lagrange è applicabile in tale intervallo ma non so come arrivare a risolvere il problema. In particolare quale intervallo $ [a;b] $ devo considerare quando uso Lagrange?
Grazie.
Dimostra utilizzando il teorema di Lagrange che $ 1/(t+1) < ln ((t+1)/t) < 1/t $ per ogni $ t>0 $
Ho posto $ f(t) = ln((t+1)/t) $ e ho trovato che $ f'(t) = 1/(t+1) - 1/t $. Inoltre ho constatato che $ f(t) > 0 $ e che $ f'(t) < 0 $, entrambi per ogni $ t>0 $ (cioè l'intervallo da considerare).
La funzione poi é continua e derivabile in $ (0; +oo) $ quindi il teorema di Lagrange è applicabile in tale intervallo ma non so come arrivare a risolvere il problema. In particolare quale intervallo $ [a;b] $ devo considerare quando uso Lagrange?
Grazie.
Risposte
Io fossi in te porrei $g(t)=ln(1+1/t)-1/t$ e $h(t)=ln(1+1/t)-1/(1+t)$, calcolerei $g'(t)$ e $h'(t)$, applicherei Lagrange in $[a;b]$ e trarrei le conseguenze.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Le derivate sono $ g'(t) = 1/(t^2*(t+1)) $ e $ h'(t) = - 1/(t*(t+1)^2) $ con $ g'(t) > 0, forall t > 0 $ e $ h'(t) < 0, forall t > 0 $. A questo punto temo di non capire un passaggio... Applicando Lagrange in $ [a;b] $ avrei:
$ ( ln (1+1/b) - 1/b - ln(1+1/a) + 1/a )/(b-a) = 1/(c^2*(c+1)) > 0 $
$ ( ln (1+1/b) - 1/(b+1) - ln(1+1/a) + 1/(a+1) )/(b-a) = -1/(c*(c+1)^2) < 0 $
e non saprei come procedere...
Le derivate sono $ g'(t) = 1/(t^2*(t+1)) $ e $ h'(t) = - 1/(t*(t+1)^2) $ con $ g'(t) > 0, forall t > 0 $ e $ h'(t) < 0, forall t > 0 $. A questo punto temo di non capire un passaggio... Applicando Lagrange in $ [a;b] $ avrei:
$ ( ln (1+1/b) - 1/b - ln(1+1/a) + 1/a )/(b-a) = 1/(c^2*(c+1)) > 0 $
$ ( ln (1+1/b) - 1/(b+1) - ln(1+1/a) + 1/(a+1) )/(b-a) = -1/(c*(c+1)^2) < 0 $
e non saprei come procedere...
Ok, ho detto una cazzata, scusami, l'esercizio non è risolvibile con Lagrange in alcun modo, con Lagrange si può solo dimostrare che le funzioni sono strettamente monotone, ma niente di più. 
L'unico modo possibile mi pare essere, dopo aver verificato che sono strettamente monotone, quello di controllare i limiti a zero e a infinito.
L'unico modo possibile mi pare essere, dopo aver verificato che sono strettamente monotone, quello di controllare i limiti a zero e a infinito.
Ah va bene penso di aver capito! Provo a scrivere la dimostrazione:
Considero ogni funzione e la rispettiva derivata:
$ g(t)=ln(1+1/t)-1/t rightarrow g'(t) = 1/(t^2*(t+1)) $ con $ g'(t) > 0, forall t > 0 $
$ h(t)=ln(1+1/t)-1/(1+t) rightarrow h'(t) = - 1/(t*(t+1)^2) $ con $ h'(t) < 0, forall t > 0 $
Applicando Lagrange in $ I = [a;b] $ (chiaramente con $ b > a $):
$ (g(b) - g(a))/(b-a) = g'(c) > 0 rightarrow g(b) > g(a) $ e, per come è stato definito $ I $, g(t) è strettamente crescente $ forall t > 0 $ [1]
$ (h(b) - h(a))/(b-a) = h'(c) < 0 rightarrow h(b) < h(a) $ e, analogamente, h(t) risulta strettamente decrescente [2]
Inoltre poiché:
(A) $ lim_(t->0^+)g(t) = -oo $ e $ lim_(t->+oo)g(t) = 0 $, per la [1] si ha $ g(t) < 0, forall t>0 $
(B) $ lim_(t->0^+)h(t) = +oo $ e $ lim_(t-> +oo)h(t) = 0 $, per la [2] si ha $ h(t) > 0, forall t>0 $
Infine unendo la (A) e la (B):
$ { ( ln(1+1/t)-1/t<0 ),( ln(1+1/t)-1/(t+1)>0 ):} rightarrow 1/(t+1) < ln(1+1/t) < 1/t, forall t > 0 $
CVD
In caso fosse tutto corretto, lascio la dimostrazione a chi interessasse e ringrazio Vulplasir
Considero ogni funzione e la rispettiva derivata:
$ g(t)=ln(1+1/t)-1/t rightarrow g'(t) = 1/(t^2*(t+1)) $ con $ g'(t) > 0, forall t > 0 $
$ h(t)=ln(1+1/t)-1/(1+t) rightarrow h'(t) = - 1/(t*(t+1)^2) $ con $ h'(t) < 0, forall t > 0 $
Applicando Lagrange in $ I = [a;b] $ (chiaramente con $ b > a $):
$ (g(b) - g(a))/(b-a) = g'(c) > 0 rightarrow g(b) > g(a) $ e, per come è stato definito $ I $, g(t) è strettamente crescente $ forall t > 0 $ [1]
$ (h(b) - h(a))/(b-a) = h'(c) < 0 rightarrow h(b) < h(a) $ e, analogamente, h(t) risulta strettamente decrescente [2]
Inoltre poiché:
(A) $ lim_(t->0^+)g(t) = -oo $ e $ lim_(t->+oo)g(t) = 0 $, per la [1] si ha $ g(t) < 0, forall t>0 $
(B) $ lim_(t->0^+)h(t) = +oo $ e $ lim_(t-> +oo)h(t) = 0 $, per la [2] si ha $ h(t) > 0, forall t>0 $
Infine unendo la (A) e la (B):
$ { ( ln(1+1/t)-1/t<0 ),( ln(1+1/t)-1/(t+1)>0 ):} rightarrow 1/(t+1) < ln(1+1/t) < 1/t, forall t > 0 $
CVD
In caso fosse tutto corretto, lascio la dimostrazione a chi interessasse e ringrazio Vulplasir
Esatto 
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