Dimostrazione con i vettori

[HowardRoark]

Dimostra che il vettore $\vec c= a*\vec b + b *\vec a$ divide in due parti congruenti l'angolo formato dai vettori $\vec a$ e $\vec b$.

Il vettore somma di due vettori è la diagonale del parallelogramma che parte dal punto che condividono le code dei due vettori; questa diagonale divide in due parti congruenti l'angolo formato dai due vettori solo se il parallelogramma in questione è un rombo...

Ponendo $a$ e $b$ maggiori di zero, i vettori $\vec a$ e $\vec b$ hanno stessa direzione e stesso verso di $b*\vec a$ e $a*\vec b$, quindi è indifferente che si consideri l'angolo formato da questi vettori o l'angolo formato da $\vec a$ e $\vec b$.

Probabilmente non avrò capito bene il problema, perché dal mio punto di vista mi sembra palese che la tesi sia falsa.

Per completezza, posto anche un'immagine che descrive la situazione:

[StellaMartensitica]

Scusa io non ho capito il testo. $a$ e $\bar(a)$ sono due cose diverse?

[HowardRoark]

$\vec a$ è il vettore, $a$ è il modulo del vettore...

[HowardRoark]

Aspetta: ho provato ragionando con i numeri.

Ponendo per es. $a=1,5$ e $b=3$ si ha che il modulo di $a* \vec b$ e $b* \vec a$ è 4,5, quindi il parallelogramma relativo è sempre un rombo

[Bokonon]

Se dividi entrambi i membri per $|a|*|b|$ vedi chiaramente che il vettore c la somma di due versori "riscalata", ovvero è la diagonale di un rombo di lato 1 moltiplicata per una costante.

[marco2132k]

"HowardRoark":Dimostra che

No calma; che vuol dire che quell'espressone \( c \) dei vettori[nota]Non ho voglia di mettere le freccine.[/nota] \( a \) e \( b \) "divide in parti congruenti" l'angolo \( \theta(a,b) \) che i vettori \( a \) e \( b \) formano, i.e. \( \theta(a,b)=\arccos\left( (a\cdot b)/\lVert a\rVert\lVert b\rVert \right) \)?

E' vero che se \( c \) è \( \lVert a\rVert b+\lVert b\rVert a \) allora l'angolo tra \( a \) e \( c \) è uguale all'angolo tra \( c \) e \( b \), ché
\[
\cos(\theta(a,c))=\frac{a\cdot c}{\lVert a \rVert\lVert c\rVert} = \frac{a\cdot \lVert a\rVert b+\lVert b\rVert a}{\lVert a \rVert\lVert \lVert a\rVert b+\lVert b\rVert a\rVert}=\dots
\]
e
\[
\cos(\theta(c,b))=\dots
\]
ovviamente sull'euclideo \(\mathbb{R}^n\), con prodotto \(-\cdot-\) e norma \( \lVert - \rVert \).

[HowardRoark]

Credo che la dimostrazione possa andare constatando semplicemente che per ogni valore di $a$ e di $b$ abbiamo a che fare con un rombo. Per il momento preferisco affrontare gli esercizi nel modo più elementare possibile, dato che ho tantissima mole da studiare ancora...

Discorso diverso è ovviamente se commetto errori: lì anzi vi esorto ad essere il più puntigliosi possibile

[StellaMartensitica]

Vorresti dimostrarlo con la geometria sintetica? Con la geometria sintetica non saprei farlo. Solo come ha fatto Marco2132k

[HowardRoark]

"SirDanielFortesque":Vorresti dimostrarlo con la geometria sintetica? Con la geometria sintetica non saprei farlo. Solo come ha fatto Marco2132k

Per ora mi basta constatarlo con degli esempi. Ho postato perché a me sembrava proprio falsa la proposizione.

[Bokonon]

Siete folli....

[StellaMartensitica]

Nono la proposizione è giusta si dimostra come ti hanno fatto vedere sopra.

[marco2132k]

"Bokonon":Siete folli....

Capisco ciò che intendi, @Bokonon: volevo solo far notare a OP che l'angolo è definito come l'\( \arccos \) del prodotto tra il prodotto scalare e l'inverso del prodotto dei moduli: dividere per \( \lVert a\rVert\lVert b\rVert \) ha certo più stile, a patto di aver in precedenza dimostrato che in un rombo di lati \( a \) e \( b \) la bisettrice \( k(a+b) \), \( k\in\mathbb{R} \), ha la proprietà che vogliamo. Provare questo risultato più generale prima di svolgere questo esercizio (e si passa per la def. di angolo compreso tra \( a \) e \( b \)), e proseguire come hai fatto tu mi sembra carino.

Dopo essere giunti a \( c=\lVert a\rVert \lVert b\rVert \Big(\hat a + \hat b\Big) \), dove \( \hat v \) è il versore del vettore \( v \), come dimostri che \( c \) divide l'angolo in due, senza la def. di angolo altrimenti? A me non vengono altre idee più "sintetiche" ad ora

@SirDanielFortesque Non credo che questa domanda riguardi la geometria "di Euclide", mi sembra una domanda prettamente di AL.

[Bokonon]

@marco2132
Sostanzialmente stai dicendo che dimostri il teorema di pitagora usando la formula
La geometria viene prima delle formule che utilizziamo.
E la dimostrazione che ho dato è persino indipendente da un sistema di riferimento e dall'origine (puoi immaginare la norma non solo euclidea ma quella che vuoi...basta che sia una "misura" qualsiasi della lunghezza del vettore).

[StellaMartensitica]

Il coseno dell'angolo compreso tra uno dei due vettori iniziali e il vettore c definito nell'esercizio è:

$a=(x_1,y_1)$
$b=(x_2,y_2)$

$cos(\theta)=(sqrt((x_1^2+y_1^2)*(x_2^2+y_2^2))+x_1*x_2+y_1*y_2)/(sqrt(2(x_2^2+y_2^2)*(x_1^2+y_1^2)+2*(x_1*x_2+y_1*y_2)*sqrt(x_1^2+y_1^2)*sqrt(x_2^2+y_2^2)))$

Però si può semplificare:

$cos(\theta)=(||a||*||b||+a*b)/(sqrt(2)*sqrt(||a||^2*||b||^2+a*b*||a||*||b||))=(||a||*||b||+a*b)/(sqrt(2)*sqrt(||a||*||b||)*sqrt(||a||*||b||+*a*b))=$

$=sqrt((||a||*||b||+a*b)/(2*||a||*||b||))=sqrt(1/2 +1/2*(a)/(||a||)*(b)/(||b||)$

è facile notare che se $a$ e $b$ sono perpendicolari il loro prodotto scalare è nullo, quindi il coseno sarà $1/sqrt(2)$ corrispondente a $45°=pi/2*1/2=pi/4$

[StellaMartensitica]

"marco2132k":
@SirDanielFortesque Non credo che questa domanda riguardi la geometria "di Euclide", mi sembra una domanda prettamente di AL.

Non ho capito come lo hai capito? Ci sarà pur un modo.
Guardando la formula che ho ricavato sopra:
$cos(\theta)=sqrt(1/2+1/2*(a*b)/(||a||*||b||))$

$(a*b)/(||a||*||b||)=cos(2*\theta)$

$cos(\theta)=sqrt((1+cos(2*\theta))/2)$ mi ricorda la formula di bisezione.

[marco2132k]

"Bokonon":La geometria viene prima delle formule che utilizziamo.

Non ho compreso, scusami @Bokonon.

"Bokonon":@marco2132
Sostanzialmente stai dicendo che dimostri il teorema di pitagora usando la formula

Non capisco cosa intendi: il teorema di Pitagora non dice altro che se \( v \) e \( w \) sono due vettori di uno spazio vettoriale reale rispetto ad un prodotto scalare \( \langle {-},{-}\rangle \), allora il modulo della somma ("ipotenusa") \( {\lVert v+w\rVert}^2 \) sarà pari alla somma \( {\lVert v\rVert}^2+{\lVert w\rVert}^2 \) dei moduli ("cateti"): non ha bisogno della nozione di "angolo" tra vettori per essere dimostrato, sono solo semplici conti e applicazione delle definizioni.

"Bokonon":E la dimostrazione che ho dato è persino indipendente da un sistema di riferimento e dall'origine

Ho precisato che tutto vale sullo spazio euclideo \( \mathbb{R}^n \), perché credo sia quello lo spazio dove l'utente che ha postato per primo lavora: tuttavia non ho utilizzato altre proprietà se non quelle di un prodotto scalare (su uno spazio reale). Da questo discende la validità per tutti i tipi di norme su spazi reali.

"SirDanielFortesque":Non ho capito come lo hai capito

OP parla di vettori (se non erro @HW è uno studente di ingegneria) quindi semplicemente non credo sia interessato a rette e segmenti intesi in modo "classico", ma all'algebra lineare, anche se ha postato nella sezione delle superiori.

"SirDanielFortesque":Ci sarà pur un modo.

Il punto è (credo che il fraintendimento con @Bokonon sia qui) che per due vettori \( v \), \( w \) di uno spazio (e intendo vettoriale, quando un discorso simile si può fare su spazi affini a cui ora nessuno è certamente interessato) reale, con prodotto scalare \( \langle {-},{-}\rangle \) (e norma \( \lVert {-}\rVert\colon{-}\mapsto\sqrt{\langle {-},{-}\rangle} \)), il coseno dell'angolo compreso tra questi due vettori è definito come
\[
\cos\theta(v,w):=\frac{\langle v,w\rangle}{\lVert v\rVert\lVert w\rVert}
\]
Se definiamo \( \arccos \) come la lunghezza d'arco del circolo unitario a.k.a.
\[
\arccos\colon x\mapsto\begin{cases}\int_x^1{ dt/\sqrt{1-t^2} } & x\neq -1\\ \pi & x=-1 \end{cases}
\]
hai una nozione decente di "angolo tra due vettori": la formula di bisezione allora vale in uno... spazio vettoriale

Per un breve recap su 'ste cose, puoi vedere le dispense di G1 di Cailotto dell'Università di Padova, qui (sono carinissime).

Quello che tu hai ricavato, non è quindi un risultato di "geometria classica": siamo in un setup diverso. (E quale sarebbe la definizione di angolo, seno e coseno, arcocoseno, vettore in "geometria classica"? La "geometria delle coordinate" delle superiori è un surrogato mal fatto, su base intuitiva, di queste definizioni, che si possono spiegare nella loro forma originale anche negli spazi affini; mischiare la geometria "intuitiva" di Euclide con l'algebra lineare e la geometria affine viene fatto spesso [in fisica ad esempio] con grande piacere; imho crea solo una grande confusione).

[StellaMartensitica]

"marco2132k":La "geometria delle coordinate" delle superiori è un surrogato mal fatto, su base intuitiva, di queste definizioni, che si possono spiegare nella loro forma originale anche negli spazi affini; mischiare la geometria "intuitiva" di Euclide con l'algebra lineare e la geometria affine viene fatto spesso [in fisica ad esempio] con grande piacere; imho crea solo una grande confusione).

Mi sono accorto solo dopo di aver fatto un po' di casino.
La formula è giusta l'ho ricontrollata.
Grazie della risposta.

[Bokonon]

"SirDanielFortesque":il coseno dell'angolo compreso tra questi due vettori è definito come
\[
\cos\theta(v,w):=\frac{\langle v,w\rangle}{\lVert v\rVert\lVert w\rVert}
\]

Non sono cattivo!
Ma credo che solo questo quote dica tutto perchè è talmente grossa che sarà il punto di partenza di tutto ciò che sto per scrivere.
Se torni con la mente alle superiori, ricorderai certo che la definizione di seno è una proprietà geometrica dei triangoli rettangoli.
Il seno è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa.
La ragione è semplice: fissato un angolo p i rapporti $(BB^{\prime})/(AB^{\prime})=(C,C^{\prime})/(AC^{\prime})=(DD^{\prime})/(AD^{\prime})$ sono identici perchè i triangoli sono simili.

Senza la geometria non esiste il seno e quindi il coseno (il suo complemento a 90°) etc etc.
Capisco che tu voglia argomentare, ma arrivare a rivoluzionare la matematica dicendo che il coseno è definito dai vettori e non dalla geometria è un po' troppo, non ti pare? Quella formula è già incorporata nel sistema nel momento stesso in cui scegli un riferimento ortogonale e una metrica euclidea (che tradotto vuol dire che fai uso del teorema (geometrico) di pitagora).

L'ordine è appunto geometria-->resto e non viceversa. Ed è incredibile che tu lo abbia dimenticato.

Passiamo ai vettori. La definizione di vettore è geometrica: quelli di cui parli tu sono vettori applicati, dotati di norma, di un sistema di riferimento e infine di un prodotto interno. Perchè questo è l'ordine naturale.
Si parte dal vettore geometrico, esattamente come nel problema proposto in questo thread. Poi volendo gli si da una metrica, un riferimento e infine un prodotto interno. Vedi il dislivello?

Il problema iniziale è identico a $\vec c= l(a)*\vec b + l(b) *\vec a$ vettori geometrici in cui l(x) indica la lunghezza del vettore x (di cui non sai nulla se non che è quella).
Un vettore geometrico è un segmento orientato dotato di una lunghezza e che non sta in nessuna posizioone privilegiata. Due vettori distanti ma orientati nello stesso verso e di identica lunghezza sono equipollenti, altro modo per dire che sono identici. Infine si possono sommare con la regola del parallepipedo e moltiplicare per uno scalare reale (disegni un vettore e se lo moltiplichi per due allora ad occhio ne raddoppi la la lunghezza...di cui non sai niente eccetto che corrisponde alla lunghezza del segmento che hai disegnato!). Questa è la definizione di vettore. E il problema si risolve con questa definizione.

Tu invece dichiari di aver bisogno di una metrica, di un sistema di riferimento, di un prodotto interno e infine pure della definizione di seno/coseno per fare i conti. Capisci adesso cosa intendevo quando dicevo che inverti le cose e vuoi dimostrare il teorema di pitagora usando la formula? E' la formula che arriva dalla geometria esattamente come il seno/coseno.

Capisco che venga insegnato direttamente il vettore applicato in uno spazio ortogonale con una metrica euclidea e alla fine uno pensi che quello sia il vettore, ma non è così. Anzi, se ci si abitua a pensare in questo modo poi non c'è da stupirsi che si faccia fatica a slegarlo da quel contesto. Ad esempio si è portati a risolvere tutti i problemi usando la base canonica...quando invece spesso è più conveniente usare altre basi. Oppure si faccia fatica a comprendere i tensori.

Insomma, sto cercando di dirti che in tutta la tua risposta hai appunto citato tutte le cose che non sono necessarie per risolvere il problema iniziale!

[axpgn]

@Bokonon
[ot]Premessa: Ho dato solo un'occhiata superficiale al problema quindi le mie considerazioni riguardano solo il tuo modo di vedere "le cose".
Il punto di vista che hai su queste problematiche lo potrei/vorrei definire "storico", "naturale", "popolare", "normale" (e non c'è nessuna connotazione negativa in questi aggettivazioni, quanto meno non ce la metto io )
Però la tua "richiesta" che questo sia il modo "giusto" (anzi l'unico modo "giusto") di vedere le cose, a mio parere è errata.
Come "controesempio" basti pensare, per esempio, ai vettori che non sono altro che gli elementi di uno spazio vettoriale, qualsiasi cosa siano poi in realtà (polinomi, matrici o elementi "strani") oppure, uscendo dalla Matematica, alle modalità con cui sono state ridefinite le unità di misura in Fisica (emblematica mi pare a tale scopo la "sparizione" del kilogrammo massa).
In sintesi, quello che voglio dire è che mi sta bene che tu veda le cose in quel modo, a tuo modo (forse anche mio) ma il punto di vista di Marco è altrettanto valido (ancorché forse "sovrabbondante" per l'OP).
IMHO[/ot]

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

[ot]

"axpgn":
Però la tua "richiesta" che questo sia il modo "giusto" (anzi l'unico modo "giusto") di vedere le cose, a mio parere è errata.

Il vantaggio di parlare di matematica è che non è un'opinione
E se guardi il problema iniziale e come l'ho riformulato, capirai che se assegno quel problema e (per boutade) assegno pure due assi sghembi di riferimento senza dire nulla su di essi e una metrica a capocchia, chi volesse fare di conto come un ragioniere non potrebbe risolverlo. Questo solo la dice tutta. No?[/ot]
[ot]

"axpgn":
Come "controesempio" basti pensare, per esempio, ai vettori che non sono altro che gli elementi di uno spazio vettoriale

Azz, quoque tu! Non c'è bisogno di uno spazio vettoriale. Anche tu sei legato mentalmente alle definizioni che hai imparato, ammettilo. Lo so, perchè in qualsiasi libro di testo e pure in qualsiasi scritto online fanno tutti così: mezza paginetta per definire il vettore in senso geometrico e poi zuummm immediatamente introducono lo spazio euclideo, con norma e quant'altro. E subito dopo lo spazio vettoriale. E chi legge pensa che i concetti coincidano.
Ma quelli sono spazi e vettori mooooolto specifici, tant'è che appena lo studente prova a slegarsi dai quei concetti e imparare la geometria affine oppure quella descrittiva o infine quella proiettiva, allora apriti cielo!

In generale, la geometria sta sopra tutto. Oggi praticamente partono dalla topologia per definire davvero tutti i concetti nel modo più generale possibile (e io non ne so una mazza e devo rimediare!). Anzi sono persino stupito dal fatto che oramai sia impossibile aprire un articolo online senza che termini come "palla" o "carta" non compaiano in argomenti di calcolo e quant'altro. Fino a 30 anni fa non esisteva una cosa del genere, doh![/ot]

Saluti, Adriano

[axpgn]

@Bokonon
[ot]

"Bokonon":Il vantaggio di parlare di matematica è che non è un'opinione

Non è vero dipende dalle definizioni che dai ovvero la Matematica è un gioco, un gioco che ha delle regole; se cambi le regole, giochi in modi diverso (penso al postulato delle parallele e a quante Geometrie arrivi senza )

Non ho guardato il problema, né lo guarderò perché, a parte il fatto che c'avrei capito poco ( ), non è quello l'argomento del mio discorso.
Io non contesto il fatto che la tua "soluzione" sia più diretta e meno arzigogolata di quella di Marco ma solo che sia il modo "giusto" di fare le cose.

"Bokonon": Anche tu sei legato mentalmente alle definizioni che hai imparato, ammettilo.

Per niente (anche perché non li ho mai studiati e quel che so, lo so solo per letture "amatoriali" ).

"Bokonon":Ma quelli sono spazi e vettori mooooolto specifici,

Anche qui: per niente, anzi penso la struttura "spazio vettoriale" nel modo più "generico" possibile (per esempio vedi qui e cerca la voce "crazy vector space")

"Bokonon":In generale, la geometria sta sopra tutto. Oggi praticamente partono dalla topologia per definire davvero tutti i concetti nel modo più generale possibile

Io comprendo benissimo il tuo modo di vedere (e approcciare) le cose, e non solo, probabilmente sono anche d'accordo con te che molto spesso (forse troppo) si usa il cannone per ammazzare le mosche invece di una semplice paletta.
Ma al tempo stesso trovo normale che la Matematica (oggigiorno) si muova in direzione di una sempre maggiore "generalizzazione" e "astrazione", slegandosi anche, se necessario, da legami "antichi".
Io non vedo questi due aspetti in antitesi, anzi … l'importante, invece, è che poi non nascano "guerre ideologiche" tra le due "fazioni" (estremizzo, eh ) che generano solo "sterili" lunghe inutili discussioni (come già visto anche in questi luoghi).[/ot]

Cordialmente, Alex