Dimostrazione con equazione di secondo grado.

[Albert Wesker 27]

Ieri, ai giochi matematici a cui ho partecipato all'università di Firenze, mi sono imbattuto su questo quesito che non sono riuscito a risolvere:

Si dimostri che l'equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ con $a, b, c$ numeri interi dispari, non è verificata per nessun numero razionale (non ha come soluzioni numeri razionali).

Io ho lavorato per assurdo. Quindi ho posto $n^2= b^2-4ac$ , dove $n$ è un numero intero. Ho svolto diversi passaggi ma in nessuno di essi riesco a cadere in contraddizione, dimostrando cosi che non possono esserci soluzioni razionali. Idee?

[blackbishop13]

le condizioni sono $a,b,c in ZZ$ e $2$ non divide $a,b,c$.

allora vogliamo vedere che $nexists n in NN$ tale che $b^2-4ac=n^2$.

supponiamo per assurdo che esista, allora vediamo che
$b^2-n^2=4ac$ e quindi siccome $2$ divide il secondo membro, deve dividere anche il primo, ed essendo $b$ dispari, anche $n$ deve esserlo.

allora scriviamo $b=2b_0 +1$ e $n=2n_0 +1$ possiamo farlo proprio perchè sono dispari.
inoltre usiamo la scomposizione della differenza di quadrati, e otteniamo
$(b+n)(b-n)=4ac$ e quindi sostituendo $(2n_0+2b_0 + 2)(2b_0 - 2n_0)=4ac$
raccogliamo i due dove possibile e otteniamo $2(n_0+b_0+1)2(b_0-n_0)=4ac$
dividiamo per $4$ e viene $(n_0+b_0+1)(b_0-n_0)=ac$
e da qui l'assurdo perchè di sicuro $2$ non divide il secondo membro, perchè $a,c$ sono dispari, mentre $2$ divide il primo.
il perchè si intuisce, te lo lascio come esercizio.