Dimostrazione circonferenza e corde

[mllebonnefoy]

Salve a tutti, data una circonferenza e due corde parallele AB e CD, come posso dimostrare che AC e DB sono congruenti? (E che quindi, se unisco gli estremi delle corde, ottengo un trapezio isoscele?) Grazie in anticipo!

[Max 2433/BO]

Non so se ne hai ancora bisogno, comunque la dimostrazione è la seguente:

Consideriamo la figura allegata.

Considera i punti medi M1 e M2 rispettivamente delle corde AB e CD, e traccia la perpendicolare M1M2 ad AB (che sarà ovviamente perpendicolare anche a CD essendo AB//CD per ipotesi).

I triangoli AM1M2 e BM1M2 sono congruenti per il I° criterio:

1) AM1 = BM1 (per costruzione M1 punto medio di AB)
2) M1M2 in comune ai due triangoli
3) Angolo in M1 retto per entrambi i triangoli (per costruzione M1M2 è perpendicolare ad AB)

di conseguenza

AM2 = BM2

e

Angolo M1AM2 = Angolo M1BM2

Consideriamo, adesso, i triangoli AM2C e BM2D

Anche in questo caso i due triangoli sono congruenti per il I° criterio:

1) AM2 = BM2 (per quanto dimostrato prima)
2) CM2 = DM2 (per costruzione M2 punto medio di CD)
3) Angolo AM2C = Angolo BM2D (alterni interni di rette parallele tagliate da trasversale di angoli identici M1AM2 e M1BM2 per quanto dimostrato prima)

di conseguenza

AC = BD

...c.v.d.

:hi

Massimiliano