Dimostrazione circonferenza
Ecco la prima difficoltà. La dimostrazione mi sembra semplice ma non riesco a vedere qualcosa. Ecco il testo del problema.
Disegna una circonferenza e dagli estremi di un suo diametro traccia due corde parallele. Dimostra la congruenza delle corde medesime.
Ipotesi
1. AD è diametro
2. AB e CD sono corde parallele
Tesi
Le corde AB e CD sono congruenti
Per la dimostrazione ho ragionato così. Indicato con O il centro della circonferenza sappiamo che $\hat{OAB}~=\hat{ODC}$ in quanto alterni interni delle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AD.
E su questa strada non riesco ad andare oltre.
Oppure:
Indico con O il centro della circonferenza e traccio i segmenti OB e OC. Mi pongo l'obiettivo di mostrare che $DeltaOAB~=DeltaODC$. I segmenti tracciati sono eguali, per costruzione, in quanto raggi della circonferenza in esame. Anche i segmenti OA ed OD sono eguali per la stessa ragione. E, anche qui, possiamo affermare che $\hat{OAB}~=\hat{ODC}$ in quanto alterni interni delle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AD.
Ora, però, non posso applicare il primo criterio di congruenza dei triangoli in quanto i tre elementi presi in considerazione non sono "ordinatamente" congruenti. Non posso neanche dire che $\hat{BOA}~=\hat{COD}$ in quanto angoli al centro: ciò perchè i segmenti OB e OC li ho costruiti partendo da O e, quindi, non è detto (va dimostrato) che uno sia il prolungamento dell'altro.
Ecco, più avanti non vado. Dispongo, oltre che dei teoremi sui triangoli, sulle rette parallele tagliate da una trasversale e Talete, di due nuovi teoremi:
1. per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza;
2. data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti congruenze: fra due angoli al centro, fra due archi, fra due settori circolari, fra due segmenti circolari) allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate.
Grazie.
P.S.: come si fa il simbolo della corda?
Disegna una circonferenza e dagli estremi di un suo diametro traccia due corde parallele. Dimostra la congruenza delle corde medesime.
Ipotesi
1. AD è diametro
2. AB e CD sono corde parallele
Tesi
Le corde AB e CD sono congruenti
Per la dimostrazione ho ragionato così. Indicato con O il centro della circonferenza sappiamo che $\hat{OAB}~=\hat{ODC}$ in quanto alterni interni delle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AD.
E su questa strada non riesco ad andare oltre.
Oppure:
Indico con O il centro della circonferenza e traccio i segmenti OB e OC. Mi pongo l'obiettivo di mostrare che $DeltaOAB~=DeltaODC$. I segmenti tracciati sono eguali, per costruzione, in quanto raggi della circonferenza in esame. Anche i segmenti OA ed OD sono eguali per la stessa ragione. E, anche qui, possiamo affermare che $\hat{OAB}~=\hat{ODC}$ in quanto alterni interni delle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AD.
Ora, però, non posso applicare il primo criterio di congruenza dei triangoli in quanto i tre elementi presi in considerazione non sono "ordinatamente" congruenti. Non posso neanche dire che $\hat{BOA}~=\hat{COD}$ in quanto angoli al centro: ciò perchè i segmenti OB e OC li ho costruiti partendo da O e, quindi, non è detto (va dimostrato) che uno sia il prolungamento dell'altro.
Ecco, più avanti non vado. Dispongo, oltre che dei teoremi sui triangoli, sulle rette parallele tagliate da una trasversale e Talete, di due nuovi teoremi:
1. per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza;
2. data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti congruenze: fra due angoli al centro, fra due archi, fra due settori circolari, fra due segmenti circolari) allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate.
Grazie.
P.S.: come si fa il simbolo della corda?
Risposte
puoi continuare così:
traccia dal centro O le distanze alle due corde parallele
sia OH la distanza da AB e OK la distanza da CD
i triangoli rettangoli OAB e OCK sono congruenti in quanto hanno:
- gli angoli OAH=COK (come hai detto tu)
- OA=OC in quanto raggi
quindi avranno anche OH=OK
allora le due corde sono congruenti in quanto corde aventi la stessa distanza dal centro
il simbolo di corda è semplicemente quello di segmento : basta quindi mettere il trattino sopra
traccia dal centro O le distanze alle due corde parallele
sia OH la distanza da AB e OK la distanza da CD
i triangoli rettangoli OAB e OCK sono congruenti in quanto hanno:
- gli angoli OAH=COK (come hai detto tu)
- OA=OC in quanto raggi
quindi avranno anche OH=OK
allora le due corde sono congruenti in quanto corde aventi la stessa distanza dal centro
il simbolo di corda è semplicemente quello di segmento : basta quindi mettere il trattino sopra
Grazie per l'intervento, Nicole93, ma questo è un teorema che non posso usare (dovrei prima dimostrarlo e, comunque, ho visto che fa parte del paragrafo successivo di studio).
Ho invece pensato a questo. Dall'estremo di una corda, diciamo B della corda AB per fissare le idee, traccio il segmento BO e lo prolungo verso l'altra corda. A questo punto non so dove vado a finire con questo prolungamento. Si dovrà verificare, comunque, uno dei seguenti tre casi:
a. interseco la corda CD proprio sull'estremo C;
b. interseco la corda CD su un punto interno ad essa;
c. interseco la corda CD sul prolungamento della medesima.
In tutti in casi, affermo che $DeltaAOB~=DeltaBOC$ per il secondo criterio di congruenza dei triangoli in quanto: $\hat{AOB}~=\hat{BOC}$ perchè angoli al vertice, $\hat{OAB}~=\hat{OBC}$ perchè angoli alterni interni delle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AB e $AO~=OB$ perchè raggi. Deduco, quindi, che $AB~=CD$.
E' corretto?
P.S.: sul simbolo della corda mi era sembrato di capire, almeno osservando la simbologia del testo sul quale sto studiando, che questo era rappresentato da un archetto sopra la coppia degli estremi identificatori della corda medesima.
Ho invece pensato a questo. Dall'estremo di una corda, diciamo B della corda AB per fissare le idee, traccio il segmento BO e lo prolungo verso l'altra corda. A questo punto non so dove vado a finire con questo prolungamento. Si dovrà verificare, comunque, uno dei seguenti tre casi:
a. interseco la corda CD proprio sull'estremo C;
b. interseco la corda CD su un punto interno ad essa;
c. interseco la corda CD sul prolungamento della medesima.
In tutti in casi, affermo che $DeltaAOB~=DeltaBOC$ per il secondo criterio di congruenza dei triangoli in quanto: $\hat{AOB}~=\hat{BOC}$ perchè angoli al vertice, $\hat{OAB}~=\hat{OBC}$ perchè angoli alterni interni delle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale AB e $AO~=OB$ perchè raggi. Deduco, quindi, che $AB~=CD$.
E' corretto?
P.S.: sul simbolo della corda mi era sembrato di capire, almeno osservando la simbologia del testo sul quale sto studiando, che questo era rappresentato da un archetto sopra la coppia degli estremi identificatori della corda medesima.
Puoi usare la tua prima dimostrazione, aggiungendovi l'osservazione che i triangoli OAB e OCD sono isosceli quindi se è uguale un angolo alla base lo è anche quello al vertice.
... aggiungendovi l'osservazione che i triangoli OAB e OCD sono isosceli quindi se è uguale un angolo alla base lo è anche quello al vertice.
Questa idea mi piace ed è compatibile con le conoscenze che posso spendere per fare questa dimostrazione.
Grazie giammaria.
Però mi piacerebbe comunque sapere se l'idea che ho proposto è rigorosa o errata.
Grazie mille.
Se non capisco male, il tuo ragionamento è questo: prolungo BO fino ad incontrare in E la retta CD; dimostro poi che sono uguali i triangoli ABO e DOE, quindi AB=DE. Ma se non dimostri che E coincide con C questa non è la tua tesi.
Giustissimo, hai perfettamente ragione. Col mio ragionamento se anche dimostro che AB=DE non è detto che E debba coincidere con C. Perfetto, la mia dimostrazione è errata. 
Andrà bene la prossima. Almeno spero.
Grazie ancora, comunque, per il tuo suggerimento; preziosissimo.
Andrà bene la prossima. Almeno spero.
Grazie ancora, comunque, per il tuo suggerimento; preziosissimo.
Una parola sulla notazione per la corda.
Premesso che le notazioni sono notazioni e basta mettersi d'accordo, il simbolo dell'archetto è usato giustappunto per denotare l'arco sotteso dalla corda, mentre il trattino sopra i nomi degli estremi del segmento in geometria sintetica è solitamente usato per denotare la misura della lunghezza del segmento.
Premesso che le notazioni sono notazioni e basta mettersi d'accordo, il simbolo dell'archetto è usato giustappunto per denotare l'arco sotteso dalla corda, mentre il trattino sopra i nomi degli estremi del segmento in geometria sintetica è solitamente usato per denotare la misura della lunghezza del segmento.
Prego.
Grazie Wizard.
Perfettamente d'accordo. Dal momento che in questo forum si usa ASCIIMathML come linguaggio simbolico per la scrittura delle formule, e consapevole della differenza che c'è tra una corda e l'arco ad essa associato (che poi sono due), e trovando molto utile tale linguaggio, mi chiedevo se esiste (io non l'ho trovato), il modo per indicare un arco. Se non c'è pazienza, ci si arrangia.
Perfettamente d'accordo. Dal momento che in questo forum si usa ASCIIMathML come linguaggio simbolico per la scrittura delle formule, e consapevole della differenza che c'è tra una corda e l'arco ad essa associato (che poi sono due), e trovando molto utile tale linguaggio, mi chiedevo se esiste (io non l'ho trovato), il modo per indicare un arco. Se non c'è pazienza, ci si arrangia.
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