Dimostrazione asse radicale.

[sentinel1]

Non sono riuscito a trovare ne sui libri ne su internet la seguente dimostrazione riferita all'asse radicale di due circonferenze secanti: "Se per ogni punto P dell'asse si conducono i segmenti di tangente $PT$ e $PT'$ alle due circonferenze (secanti), risulta sempre $PT$ congruente a $PT'$ ".
Avete modo di aiutarmi?

Saluti.

[giammaria2]

Dette A e B le intersezioni delle due circonferenze, per il teorema della secante e della tangente si ha $PT^2=PA*PB$. La stessa formula vale anche per il punto T', quindi $PT^2=PT'^2$.
Per tua curiosità aggiungo che la proprietà in questione vale anche se le circonferenze non sono secanti; in questo caso però per dimostrarla occorre lavorare con l'analitica oppure definire il fascio in modo non analitico.

[sentinel1]

L'argomento è trattato nella geometria analitica nel capitolo della circonferenza. Com'è la dimostrazione in modo analitico?

Grazie.

[giammaria2]

E' piuttosto lunga ma concettualmente semplice: prendi un punto P sull'asse radicale, trovi la tangente condotta da P alla generica circonferenza e quindi il punto di tangenza; calcoli PT. Nel risultato finale il parametro scompare e quindi il risultato non dipende dal suo valore e perciò è lo stesso qualunque sia la circonferenza considerata.

[sentinel1]

"giammaria":E' piuttosto lunga ma concettualmente semplice: prendi un punto P sull'asse radicale, trovi la tangente condotta da P alla generica circonferenza e quindi il punto di tangenza; calcoli PT. Nel risultato finale il parametro scompare e quindi il risultato non dipende dal suo valore e perciò è lo stesso qualunque sia la circonferenza considerata.

Per parametro intendi il coefficiente angolare $m$ della retta tangente la circonferenza?

[giammaria2]

No, per parametro intendo quello che compare nell'equazione del fascio; la lettera più usata per indicarlo è $k$ ma non è l'unica.

[sentinel1]

Per due valori di $k$ otteniamo le uniche due rette del fascio di centro $P$ tangenti alle circonferenze; e fino a qui, ci sono. Ma devo ammettre che da tutto ciò mi viene difficile dedurre a livello puramente intuitivo che le distanze del punto $P$ dai punti di contatto debbano essere uguali.
Comunque, ci rifletterò meglio....
Ciao e grazie.

[giammaria2]

Veramente per ogni valore di $k$ dovresti trovare due rette tangenti. A livello puramente intuitivo la proprietà è difficile da vedere; nel caso di circonferenze secanti te ne ho scritto la dimostrazione nel primo post e nel caso di circonferenze tangenti basta usare il teorema delle due tangenti. Nel caso di circonferenze che non si incontrano occorrono davvero i calcoli, ma sono lunghissimi (questo è probabilmente il motivo per cui nessuno li riporta): limitati a vederlo sul grafico. In questo modo: disegna l'asse radicale e due circonferenze del fascio, nonché le tangenti in questione e poi misura i due segmenti e vedrai che sono uguali.

[sentinel1]

Ok. Grazie.