Dimostrazione Antisimmetrica
Vorrei iniziare a prendere dimestichezza con la metodologia delle dimostrazioni!
Sicuramente sbagliando le mie dimostrazioni erano tutte verifiche pratiche di determinate proprietà, ma non mi riesce proprio capire come si possa fare altrimenti
Ad esempio! consideriamo l'insieme $A{1,2,3,4}$
La relazione: a è in relazione con b se e soltanto se a + b è pari !
Io procedevo in questo modo :
Prodotto cartesiano $AxA={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}$
l'insieme delle coppie che soddisfano la relazione è $ B sube A $
$B{(1,1),(1,3)(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)}$
Le coppie che soddisfano la antisimmetrica sono (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)
Antisimmetrica aRb , bRa -> a=b!
a=1 B=1 a è in relazione con b b è in relazione con a a=b 1=1
Non credo che proprietà si dimostrino in questo modo, forse per questo esempio va bene, ma credo in generale bisogna eseguire un ragionamento!
ad esempio se A fosse N ovvero l'insieme dei Naturali come procedereste!
Sicuramente sbagliando le mie dimostrazioni erano tutte verifiche pratiche di determinate proprietà, ma non mi riesce proprio capire come si possa fare altrimenti
Ad esempio! consideriamo l'insieme $A{1,2,3,4}$
La relazione: a è in relazione con b se e soltanto se a + b è pari !
Io procedevo in questo modo :
Prodotto cartesiano $AxA={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}$
l'insieme delle coppie che soddisfano la relazione è $ B sube A $
$B{(1,1),(1,3)(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)}$
Le coppie che soddisfano la antisimmetrica sono (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)
Antisimmetrica aRb , bRa -> a=b!
a=1 B=1 a è in relazione con b b è in relazione con a a=b 1=1
Non credo che proprietà si dimostrino in questo modo, forse per questo esempio va bene, ma credo in generale bisogna eseguire un ragionamento!
ad esempio se A fosse N ovvero l'insieme dei Naturali come procedereste!
Risposte
Se non ho capito male, devi vedere se la relazione è antisimmetrica.
In questo caso non lo è perchè non è vero che $AA a,b in {1,2,3,4}$ $a R b $, $b Ra rArr a=b$
Infatti se prendi $a=4$, $b=2$ hai che $a Rb$, $b R a$, ma (ovviamente), $a$ e $b$ non sono uguali
La relazione è invece simmetrica... Ovvero $AA a,b in {1,2,3,4}$ $a R b rArr b Ra $
Riesci a dimostrarlo?
In questo caso non lo è perchè non è vero che $AA a,b in {1,2,3,4}$ $a R b $, $b Ra rArr a=b$
Infatti se prendi $a=4$, $b=2$ hai che $a Rb$, $b R a$, ma (ovviamente), $a$ e $b$ non sono uguali
La relazione è invece simmetrica... Ovvero $AA a,b in {1,2,3,4}$ $a R b rArr b Ra $
Riesci a dimostrarlo?
"ybor4":
Prodotto cartesiano $AxA={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}$
l'insieme delle coppie che soddisfano la relazione è $ B sube A $
$B{(1,1),(1,3)(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)}$
Attento! Non è $ B sube A $, ma $ B sube AxA $
Scusate prima ho sbagliato a digitare!
Io riesco a dimostrare in modo costruttivo, ma il prof mi ha detto che in questo modo non dimostro nulla! Devo ragionarci! Come consiglio mi ha detto di utilizzare come insieme A l'insieme dei Naturali!
$ N*N{(a,b): a in N , b in N } $ esisterà $ B sube N $ un insieme di coppie che soddisfano il predicato $a+b=pari$ in altre parole a è in relazione con b se e solo se la somma dei due da un numero pari!
Ora dovrei dire e dimostrare se le coppie di B soddisfano la proprietà Riflessiva , Antisimmetrica e Transitiva, dovrei trovare uno schema di calcolo che mi dimostri queste verità ...
Io riesco a dimostrare in modo costruttivo, ma il prof mi ha detto che in questo modo non dimostro nulla! Devo ragionarci! Come consiglio mi ha detto di utilizzare come insieme A l'insieme dei Naturali!
$ N*N{(a,b): a in N , b in N } $ esisterà $ B sube N $ un insieme di coppie che soddisfano il predicato $a+b=pari$ in altre parole a è in relazione con b se e solo se la somma dei due da un numero pari!
Ora dovrei dire e dimostrare se le coppie di B soddisfano la proprietà Riflessiva , Antisimmetrica e Transitiva, dovrei trovare uno schema di calcolo che mi dimostri queste verità ...
Come ti ho scritto prima, la proprietà antisimmetrica non vale... E un possibile controesempio è quello che ti ho scritto prima
Il concetto è questo: se devi dimostrare che vale la proprietà antisimmetrica, devi essere più generale possibile, perchè devi dimostrare che vale su tutti i possibili elementi dell'insieme di pertenza
Per dimostrare invece che la proprietà antisimetrica non vale (e in questo caso non vale), basta che fai un solo controesempio
Infatti vale la proprietà antisimmetrica se e solo se : $AA a,b in A$ , $aRb $, $bRa rArr a=b$
mentre non vale se e solo se: $EE a,b in A$ tali che $aRb$ , $bRa$, $a ne b$
Ok? detto questo, dovresti dimostrare che vale la proprietà simmetrica, ok?
Il concetto è questo: se devi dimostrare che vale la proprietà antisimmetrica, devi essere più generale possibile, perchè devi dimostrare che vale su tutti i possibili elementi dell'insieme di pertenza
Per dimostrare invece che la proprietà antisimetrica non vale (e in questo caso non vale), basta che fai un solo controesempio
Infatti vale la proprietà antisimmetrica se e solo se : $AA a,b in A$ , $aRb $, $bRa rArr a=b$
mentre non vale se e solo se: $EE a,b in A$ tali che $aRb$ , $bRa$, $a ne b$
Ok? detto questo, dovresti dimostrare che vale la proprietà simmetrica, ok?
Non ho le idee Ben Chiare!
Per prima cosa vorrei capire perché utilizzi $A$ invece di $B$
$A$ è l'insieme di riferimento, a noi però non interessa tutto $A$ ma determinate coppie che soddisfano il predicato $a+b=pari$
$B{(1,1),(1,3)(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)} $ la coppia (2,1) non fa parte della nostra relazione
Detto questo, come mi hai precisato, la relazione è antisimmetrica perché :$ EE a,b in B; aRb ; bRa a!=b$
Ora dovrei dimostrare che è simmetrica
ovvero $ AA a,b in B $ $aRb$ $ bRa$ $a+b=pari$ &b+a=pari&
Ma non credo che cosi io abbia dimostrato qualcosa Correggetemi
se sbaglio!
Per prima cosa vorrei capire perché utilizzi $A$ invece di $B$
$A$ è l'insieme di riferimento, a noi però non interessa tutto $A$ ma determinate coppie che soddisfano il predicato $a+b=pari$
$B{(1,1),(1,3)(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)} $ la coppia (2,1) non fa parte della nostra relazione
Detto questo, come mi hai precisato, la relazione è antisimmetrica perché :$ EE a,b in B; aRb ; bRa a!=b$
Ora dovrei dimostrare che è simmetrica
ovvero $ AA a,b in B $ $aRb$ $ bRa$ $a+b=pari$ &b+a=pari&
Ma non credo che cosi io abbia dimostrato qualcosa Correggetemi
se sbaglio!
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