Dimostrazione (ancora sui luoghi geometrici)
Ipotesi:
1. ABC è un triangolo qualunque
2. r è bisettrice di $\hat{Ae}$ (angolo esterno di $\hat{A}$)
3. s è bisettrice di $\hat{Ce}$ (angolo esterno di $\hat{C}$)
4. t è bisettrice di $\hat{ABC}$
Tesi
$E=rnnnsnnnt$
Dim.
Per la figura, dopo aver disegnato $DeltaABC$, ho prolungato il lato AB dalla parte di A, il lato BC dalla parte di C. Quindi ho disegnato le bisettrici di cui alle ipotesi 1, 2 e 3. Poi, confesso, per poter osservare meglio la figura, ho chiesto aiuto a GeoGebra: nel senso che ho "rifatto" la figura sull'area di editing grafico di questo splendido programma. Qualche osservazione e poi ho formulato questa dimostrazione (che spero rigorosa!). Voglio anche spiegare l'idea che ha guidato il processo dimostrativo (sempre con l'intento di dare il maggior numero di informazioni a chi vorrà avere la pazienza per aiutarmi, in caso di errore, e in ogni altro caso).
Allora, la prima considerazione che ho fatto è che E è comunque l'intersezione delle bisettrici r ed s. Tali bisettrici, infatti, non possono essere parallele. Si trattava, allora, di far vedere che E giaceva anche sulla bisettrice t. Ho allora richiamato alla mente che la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti che equidistano dai lati dell'angolo medesimo. Allora ho proiettato E su tali lati (indicando con F la proiezione di E sul prolungamento del lato BC e con D la proiezione di E sul prolungamento del lato AB) e mi sono posto l'obiettivo di mostrare che i triangoli $DeltaBFE$ e $DeltaBDE$ sono congruenti.
Tale congruenza è assicurata dal fatto che i due triangoli sono rettangoli (per costruzione), che il lato BE è comune ad entrambi e che gli angoli al vertice B sono eguali in quanto dimezzati dalla bisettrice t.
A questo punto ho potuto dedurre che EF è congruente ad ED e quindi che E giace sulla bisettrice t. Ciò in quanto tutti i punti che equidistano dai lati di un angolo giacciono sulla bisettrice dell'angolo medesimo.
E' corretto?
Grazie mille.
1. ABC è un triangolo qualunque
2. r è bisettrice di $\hat{Ae}$ (angolo esterno di $\hat{A}$)
3. s è bisettrice di $\hat{Ce}$ (angolo esterno di $\hat{C}$)
4. t è bisettrice di $\hat{ABC}$
Tesi
$E=rnnnsnnnt$
Dim.
Per la figura, dopo aver disegnato $DeltaABC$, ho prolungato il lato AB dalla parte di A, il lato BC dalla parte di C. Quindi ho disegnato le bisettrici di cui alle ipotesi 1, 2 e 3. Poi, confesso, per poter osservare meglio la figura, ho chiesto aiuto a GeoGebra: nel senso che ho "rifatto" la figura sull'area di editing grafico di questo splendido programma. Qualche osservazione e poi ho formulato questa dimostrazione (che spero rigorosa!). Voglio anche spiegare l'idea che ha guidato il processo dimostrativo (sempre con l'intento di dare il maggior numero di informazioni a chi vorrà avere la pazienza per aiutarmi, in caso di errore, e in ogni altro caso).
Allora, la prima considerazione che ho fatto è che E è comunque l'intersezione delle bisettrici r ed s. Tali bisettrici, infatti, non possono essere parallele. Si trattava, allora, di far vedere che E giaceva anche sulla bisettrice t. Ho allora richiamato alla mente che la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti che equidistano dai lati dell'angolo medesimo. Allora ho proiettato E su tali lati (indicando con F la proiezione di E sul prolungamento del lato BC e con D la proiezione di E sul prolungamento del lato AB) e mi sono posto l'obiettivo di mostrare che i triangoli $DeltaBFE$ e $DeltaBDE$ sono congruenti.
Tale congruenza è assicurata dal fatto che i due triangoli sono rettangoli (per costruzione), che il lato BE è comune ad entrambi e che gli angoli al vertice B sono eguali in quanto dimezzati dalla bisettrice t.
A questo punto ho potuto dedurre che EF è congruente ad ED e quindi che E giace sulla bisettrice t. Ciò in quanto tutti i punti che equidistano dai lati di un angolo giacciono sulla bisettrice dell'angolo medesimo.
E' corretto?
Grazie mille.
Risposte
Corretto, tanto corretto che oserei dire che è perfetto.
Grazie Wizard, non farmi arrossire.
(altrimenti ci credo!)
Alla prossima, per questa sera stacco qui. Domani devo cominciare con le prime dimostrazioni sulla circonferenza. Vedremo.
Buona notte, buona domenica e ancora grazie a tutti per la pazienza mostrata.
(altrimenti ci credo!)
Alla prossima, per questa sera stacco qui. Domani devo cominciare con le prime dimostrazioni sulla circonferenza. Vedremo.
Buona notte, buona domenica e ancora grazie a tutti per la pazienza mostrata.
Di niente: buona serata anche a te.
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