Dimostrazione (a/b)<(a+c)/(b+d)<(c/d)

[math101]

Un saluto al Forum, intanto: mi sono appena iscritto e questa è la mia prima discussione.

Mi trovo a dover provare a dimostrare quanto segue:

dati dei numeri interi positivi $a$ , $b$ , $c$ , $d$ tali per cui si abbia $a/b < c/d$, dimostrare che $a/b<(a+c)/(b+d)questa risorsa. Risulterà ai più banale, forse; mi sono mosso in questa maniera:

${(a/b<(a+c)/(b+d)),(c/d>(a+c)/(b+d)):}$

provando intanto a dimostrare la prima, seguendo le linee guida del video, ma non so come procedere, data la presenza della disuguaglianza:

$a/b0$

Quest'ultimo noto che lo ritrovo nel numeratore dello step finale di quanto segue:

${(a/b-(a+c)/(b+d)<0),(c/d>(a+c)/(b+d)):} \rightarrow {((a+c)/(b+d)-a/b>0),():} \rightarrow {((b(a+c)-a(b+d))/(b(b+d))>0),():} \rightarrow {((ab+bc-ab-ad)/(b(b+d))>0),():} \rightarrow {((bc-ad)/(b(b+d)) >0),():} \rightarrow $

Non saprei come effettuare la sostituzione indicata nel video, oltretutto.

Grazie

[axpgn]

Conosci le proporzioni? Usa le loro proprietà.

[math101]

Si, penso di si, ma cosa intendi di preciso? Ho trovato diverse risorse (sembrano tutte un copia incolla, come la pagina 1 di questo pdf o sempre la pagina 1 di quest'altro) che danno per scontata la proprietà, ma nessuno la dimostra...
Mi stavo ora soffermando sulle pagine 21 e 22 di questo pdf, per vedere se riuscivo a ricondurmi alla forma:

$(a/b)<(a+c)/(b+d)<(c/d)$

partendo da:

$(a/b)<(c/d)$

e ragionando con il calcolo del denominatore tra $a/b$ e $c/d$; li dice che tradizionalmente, per decidere se $(a/b)<(c/d)$, si deve calcolare un comun denominatore, che chiamo $bd$:

$(ad)/(bd)<(bc)/(bd) \rightarrow (ad)/(bd)-(bc)/(bd)<0$

...ma non riesco ancora a rapportarmi a quella forma o a trovare una dimostrazione...

[math101]

Ma si possono applicare le proprietà delle proporzioni nel caso di disequazioni?

[axpgn]

$a/b
$a/c
$a/c+c/c
$(a+c)/c<(bc)/(cd)+(cd)/(cd)$

$(a+c)/c<(bc+cd)/(cd)$

$(a+c)/c<(c(b+d))/(cd)$

$(a+c)/c<(b+d)/d$

$(a+c)/(b+d)

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[math101]

Grazie @axpgn, Grande!!!! Ti ringrazio tantissimo; è la prima dimostrazione che trovo sul web.
Ti ringrazio moltissimo. Ho bisogno di colmare le mie lacune e trovare un aiuto è importante Felice di essere approdato sul Forum! Ancora grazie e Saluti!