Dimostrazione

[fireball1]

Dimostrare in due modi diversi che una sfera di raggio r ha volume pari a 4/3 r³

[Maverick2]

beh un modo semplice è con un integrale triplo di 1 in dr dteta e dfi dove r è il raggio, teta e fi sono gli angoli in coordinate polari.

un altro modo da statistico è inscrivendola in un cubo di lato 2r, simulare una pioggia stocastica di punti nel cubo e fare il rapporto tra punti interni alla sfera e punti totali nel cubo.

[fireball1]

Io invece avevo pensato a questa dimostrazione, peraltro anch'essa abbastanza semplice.
Considerando la circonferenza di equazione x²+y²=r² (y²=r²-x²), facciamola ruotare attorno al suo diametro che appartiene all'asse y. Bisogna calcolare il volume del solido così ottenuto. Quindi si calcola:

   r

r²-x² dx

  -r

e si ottiene 4/3 r³

Il mio libro la fa molto più lunga, perché usa i teoremi di geometria solida...

[Maverick2]

stai facendo la stessa cosa che ho fatto io con l'integrale triplo, solo che tu parti già avendone fatti due.

[fireball1]

Mah, in ogni caso mi sembra più logica come dimostrazione...

[Maverick2]

non è questione di logica. per calcolare una qualunque misura n dimensionale si può fare un integrale n-plo pur di conoscere su ogni variabile quali sono gli estremi di integrazione.
Supponiamo che vuoi sapere l'area compresa fra a,b (nelle x) e fra 0 e una certa f(x) (nelle y).
banalmente si può fare int[a,b]f(x)dx che sarebbe quello che dici tu.
in realtà ciò equivale a fare int[0,f(x)]int[a,b]1dxdy che è quello che dico io.
in pratica tu parti avendo già risolto l'integrale più esterno...

[fireball1]

Capisco... Io sono partito direttamente dal grafico della circonferenza.

[Gulliver1]

Un altro modo può essere quello di sfruttare il teorema di Guldino.

[WonderP1]

Oppure sfruttando i Teoremi di Pappo per i solidi di rotazione, potendo partire sia da un segmento di lato r, sia da un cerchio.

WonderP.

[Gulliver1]

I teoremi di Guldino e di Pappo sono la stessa cosa; si chiamano anche teoremi di Guldino-Pappo.