Dimensioni non-intere/frazionarie/frattali
Come qualcuno già sa dal mio precedente topic, per la maturità ho deciso di portare una tesina sui frattali.
L'aspetto che mi è stato più difficile da comprendere è stato quello della dimensione frazionaria di queste figure, e immagino che se lo è stato per me che ho letto pagine e pagine su questa questione, ancora più difficile sarà da comprendere per i professori all'esame, eccetto quello di mate ovviamente.
Il "senso generico" della dimensione frattale sarebbe: "numero che serve a quantificare il grado di irregolarità e di frammentazione di un insieme geometrico o di un oggetto naturale; non è necessariamente un intero."
Se uno dei principali limiti dei frattali è quello di essere troppo regolari (a meno di randomizzare la loro struttura) per descrivere gli oggetti reali, significherebbe che in natura abbiamo oggetti ancora più irregolari e frammentati rispetto ai frattali.
Questo mi porta tanti dubbi. Gli oggetti con cui ho a che fare tutti i giorni non sono tutti tridimensionali? Ma anche quelle belle immagini dei frattali, dai più semplici ai più complessi, a me sembrano semplicmente bidimensionali (o 3-D, insomma, dimensioni intere).
Ho letto la dimostrazione che porterebbe a concludere che questi oggetti possono avere dimensione non intera, ma per quanto mi riguarda c'è divario tra questa dimostrazione teorica e quello che intuitivamente mi viene da pensare. Figurarsi quanto saranno scettici i professori all'esame..
In conclusione, qualcuno sarebbe in grado di spiegare in maniera un po' più intuitiva questo fatto?
L'aspetto che mi è stato più difficile da comprendere è stato quello della dimensione frazionaria di queste figure, e immagino che se lo è stato per me che ho letto pagine e pagine su questa questione, ancora più difficile sarà da comprendere per i professori all'esame, eccetto quello di mate ovviamente.
Il "senso generico" della dimensione frattale sarebbe: "numero che serve a quantificare il grado di irregolarità e di frammentazione di un insieme geometrico o di un oggetto naturale; non è necessariamente un intero."
Se uno dei principali limiti dei frattali è quello di essere troppo regolari (a meno di randomizzare la loro struttura) per descrivere gli oggetti reali, significherebbe che in natura abbiamo oggetti ancora più irregolari e frammentati rispetto ai frattali.
Questo mi porta tanti dubbi. Gli oggetti con cui ho a che fare tutti i giorni non sono tutti tridimensionali? Ma anche quelle belle immagini dei frattali, dai più semplici ai più complessi, a me sembrano semplicmente bidimensionali (o 3-D, insomma, dimensioni intere).
Ho letto la dimostrazione che porterebbe a concludere che questi oggetti possono avere dimensione non intera, ma per quanto mi riguarda c'è divario tra questa dimostrazione teorica e quello che intuitivamente mi viene da pensare. Figurarsi quanto saranno scettici i professori all'esame..
In conclusione, qualcuno sarebbe in grado di spiegare in maniera un po' più intuitiva questo fatto?
Risposte
"seulcontretous":
Se uno dei principali limiti dei frattali è quello di essere troppo regolari (a meno di randomizzare la loro struttura) [...]
E questa dove l'hai letta?
"seulcontretous":
[...] per descrivere gli oggetti reali, significherebbe che in natura abbiamo oggetti ancora più irregolari e frammentati rispetto ai frattali.
Dovresti cominciare a chiederti cosa significa "descrivere oggetti reali".
"seulcontretous":
Questo mi porta tanti dubbi. Gli oggetti con cui ho a che fare tutti i giorni non sono tutti tridimensionali?
E che vuol dire che un oggetto reale è tridimensionale?
"seulcontretous":
Ma anche quelle belle immagini dei frattali, dai più semplici ai più complessi, a me sembrano semplicmente bidimensionali (o 3-D, insomma, dimensioni intere).
Infatti, matematicamente parlando, la dimensione frattale e la dimensione geometrica di un insieme non sono la stessa cosa.
Un frattale piano (ossia avente dimensione geometrica \(2\)) può benissimo avere dimensione frattale \(\neq 2\).
"seulcontretous":
Ho letto la dimostrazione che porterebbe a concludere che questi oggetti possono avere dimensione non intera, ma per quanto mi riguarda c'è divario tra questa dimostrazione teorica e quello che intuitivamente mi viene da pensare.
Questo dovrebbe spingerti ad interrogarti sul rapporto tra Matematica ed intuizione, come la domanda precedente dovrebbe spingere a chiederti qualcosa sul rapporto tra Matematica e realtà.
"seulcontretous":
Figurarsi quanto saranno scettici i professori all'esame..
Beh, in tutta la scienza ad un certo punto si è necessariamente portati ad abandonare il "senso comune".
"seulcontretous":
In conclusione, qualcuno sarebbe in grado di spiegare in maniera un po' più intuitiva questo fatto?
Difficile spiegare in maniera intuitiva una cosa che, per sua natura, non lo è affatto.
Tuttavia, lascio la palla a chi è più esperto di me.
"gugo82":
[quote="seulcontretous"]Se uno dei principali limiti dei frattali è quello di essere troppo regolari (a meno di randomizzare la loro struttura) [...]
E questa dove l'hai letta?
[/quote]
Su "Gli oggetti frattali" di Mandelbrot. L'aggiunta mia personale è stato cio che ho scritto in parentesi, ma anche facendo a meno di quello il senso del discorso è lo stesso. Il limite in questione si intende per quanto riguarda l'applicazione a situazioni reali
"gugo82":
[quote="seulcontretous"][...] per descrivere gli oggetti reali, significherebbe che in natura abbiamo oggetti ancora più irregolari e frammentati rispetto ai frattali.
Dovresti cominciare a chiederti cosa significa "descrivere oggetti reali".[/quote]
Mi riferisco a questioni come quelle che ho letto sul suddetto libro: distribuzione delle galassie, lunghezza di una costa, frequenza di raffiche di errori in telecomunicazione, ecc
"gugo82":
[quote="seulcontretous"]Questo mi porta tanti dubbi. Gli oggetti con cui ho a che fare tutti i giorni non sono tutti tridimensionali?
E che vuol dire che un oggetto reale è tridimensionale?[/quote]
Più semplice di così non so come dirlo.. è un concetto molto banale
"gugo82":
[quote="seulcontretous"]Ma anche quelle belle immagini dei frattali, dai più semplici ai più complessi, a me sembrano semplicmente bidimensionali (o 3-D, insomma, dimensioni intere).
Infatti, matematicamente parlando, la dimensione frattale e la dimensione geometrica di un insieme non sono la stessa cosa.
Un frattale piano (ossia avente dimensione geometrica \(2\)) può benissimo avere dimensione frattale \(\neq 2\).[/quote]
Ecco questo potrebbe spiegare un po' di cose!
"gugo82":
[quote="seulcontretous"]Ho letto la dimostrazione che porterebbe a concludere che questi oggetti possono avere dimensione non intera, ma per quanto mi riguarda c'è divario tra questa dimostrazione teorica e quello che intuitivamente mi viene da pensare.
Questo dovrebbe spingerti ad interrogarti sul rapporto tra Matematica ed intuizione, come la domanda precedente dovrebbe spingere a chiederti qualcosa sul rapporto tra Matematica e realtà.[/quote]
Beh fin'ora tutto ciò che ho studiato di matematica è andato di pari passo con l'intuizione. Se non accade penso di aver avuto qualche problema di comprensione
"gugo82":
[quote="seulcontretous"]Figurarsi quanto saranno scettici i professori all'esame..
Beh, in tutta la scienza ad un certo punto si è necessariamente portati ad abandonare il "senso comune".[/quote]
Per carità, non sono una fan del senso comune, avevo solo necessità di capire alcune cose e renderle il più possibili comprensibili anche agli altri
"gugo82":
[quote="seulcontretous"]In conclusione, qualcuno sarebbe in grado di spiegare in maniera un po' più intuitiva questo fatto?
Difficile spiegare in maniera intuitiva una cosa che, per sua natura, non lo è affatto.
Tuttavia, lascio la palla a chi è più esperto di me.[/quote]
A quanto pare non è così, avevo proprio sbagliato a interpretare il significato di "dimensione". Adesso va già meglio, ti ringrazio.
"seulcontretous":
[quote="gugo82"][quote="seulcontretous"]Se uno dei principali limiti dei frattali è quello di essere troppo regolari (a meno di randomizzare la loro struttura) [...]
E questa dove l'hai letta?
[/quote]
Su "Gli oggetti frattali" di Mandelbrot. L'aggiunta mia personale è stato cio che ho scritto in parentesi, ma anche facendo a meno di quello il senso del discorso è lo stesso. Il limite in questione si intende per quanto riguarda l'applicazione a situazioni reali[/quote]
Il problema dei frattali è la loro "regolarità" in senso lato. Insomma, i frattali conservano un certo grado di simmetria (abbastanza elevato, il più delle volte) nonostante essi siano oggetti estremamente irregolari sotto altri punti di vista (pensa ad un oggetto semplice come il fiocco di Koch, che è racchiuso da una curva così irregolare da non essere disegnabile).
"seulcontretous":
[quote="gugo82"][quote="seulcontretous"][...] per descrivere gli oggetti reali, significherebbe che in natura abbiamo oggetti ancora più irregolari e frammentati rispetto ai frattali.
Dovresti cominciare a chiederti cosa significa "descrivere oggetti reali".[/quote]
Mi riferisco a questioni come quelle che ho letto sul suddetto libro: distribuzione delle galassie, lunghezza di una costa, frequenza di raffiche di errori in telecomunicazione, ecc[/quote]
Vabbé... Ma che vuol dire "descrivere"? Cosa vuol dire "applicazione a situazioni reali"?
Ad esempio, in Fisica si usano funzioni continue per descrivere, ad esempio, il moto di un punto mteriale.
Domanda: hai mai visto per strada un punto materiale? Hai mai incontrato di persona una funzione continua?
"seulcontretous":
[quote="gugo82"][quote="seulcontretous"]Questo mi porta tanti dubbi. Gli oggetti con cui ho a che fare tutti i giorni non sono tutti tridimensionali?
E che vuol dire che un oggetto reale è tridimensionale?[/quote]
Più semplice di così non so come dirlo.. è un concetto molto banale[/quote]
Ma sei proprio sicura che gli oggetti siano tridimensionali?
Non è che a noi fa comodo descriverli così per i nostri scopi e basta?
"seulcontretous":
[quote="gugo82"][quote="seulcontretous"]Ma anche quelle belle immagini dei frattali, dai più semplici ai più complessi, a me sembrano semplicmente bidimensionali (o 3-D, insomma, dimensioni intere).
Infatti, matematicamente parlando, la dimensione frattale e la dimensione geometrica di un insieme non sono la stessa cosa.
Un frattale piano (ossia avente dimensione geometrica \(2\)) può benissimo avere dimensione frattale \(\neq 2\).[/quote]
Ecco questo potrebbe spiegare un po' di cose!
"gugo82":
[quote="seulcontretous"]Ho letto la dimostrazione che porterebbe a concludere che questi oggetti possono avere dimensione non intera, ma per quanto mi riguarda c'è divario tra questa dimostrazione teorica e quello che intuitivamente mi viene da pensare.
Questo dovrebbe spingerti ad interrogarti sul rapporto tra Matematica ed intuizione, come la domanda precedente dovrebbe spingere a chiederti qualcosa sul rapporto tra Matematica e realtà.[/quote]
Beh fin'ora tutto ciò che ho studiato di matematica è andato di pari passo con l'intuizione. Se non accade penso di aver avuto qualche problema di comprensione[/quote]
No, non credo sia un problema (solo) tuo.
Probabilmente, nessuno ti hai mai spinto a pensare che esistesse dell'altro, fuori dai rigidi schemi e fuori dalle formule che ti sono state imboccate a lezione.
La Matematica, come la altre scienze (anzi, forse più), è piena di fatti controintuitivi. Quei docenti che non accennano a queste cose, secondo me, commettono un crimine contro la loro materia.
"seulcontretous":
[quote="gugo82"][quote="seulcontretous"]Figurarsi quanto saranno scettici i professori all'esame..
Beh, in tutta la scienza ad un certo punto si è necessariamente portati ad abandonare il "senso comune".[/quote]
Per carità, non sono una fan del senso comune, avevo solo necessità di capire alcune cose e renderle il più possibili comprensibili anche agli altri[/quote]
Non era rivolta a te, ma ai docenti della commisione. Chi si occupa di insegnare, di solito, ha una preparazione tale da accettare il distacco dal senso comune.
"seulcontretous":
[quote="gugo82"][quote="seulcontretous"]In conclusione, qualcuno sarebbe in grado di spiegare in maniera un po' più intuitiva questo fatto?
Difficile spiegare in maniera intuitiva una cosa che, per sua natura, non lo è affatto.
Tuttavia, lascio la palla a chi è più esperto di me.[/quote]
A quanto pare non è così, avevo proprio sbagliato a interpretare il significato di "dimensione". Adesso va già meglio, ti ringrazio.[/quote]
Il problema è che l'articolo determinativo è sbagliato.
Insomma, non esiste "il significato di dimensione", poiché esistono tantissime nozioni di dimensione e quindi tantissimi "significati di dimensione".
Ad esempio, c'è la dimensione geometrica, la dimensione topologica, la dimensione frattale, etc... E nemmeno la sola dimensione frattale è unica: infatti, c'è la dimensione di Haussdorff, la dimensione di Minkowski, etc...
Come vedi, esiste una pletora di concetti di dimensione, ognuno dei quali serve per descrivere certi determinati comportamenti e non altri.
P.S.: Che scuola? Scientifico?
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