Dilemma della capra

[pex3]

ciao a tutti.. ho un bel quesito da porvi, mi han detto che si chiama dilemma della capra o qualcosa di simile ma nn riesco ne' a risolverlo ne' a trovare la soluzione in internet:

dato un prato circolare di raggio r e posto un piolo su un punto qualsiasi del perimetro di tale prato a cui viene legata una capra con una corda di lunghezza l determinare la lunghezza di tale corda in modo che la capra possa brucare solo meta' dell'erba presente all'interno del prato circolare.

in pratica il primo cerchio deve avere area pari al doppio dell'area nell'intersezione tra i due cerchi e il secondo cerchio deve avere il centro su un punto della circonferenza e si chiede di determinare la funzione che determina il rapporto tra i due raggi.

..impiegando gli integrali e' (forse) possibile, ma e' molto difficile.. un amico ha detto di esserci riuscito con un metodo "trigonometrico".

grazie a tutti e ciao..


pex3 is over..

[goblyn]

Ciao.

Formule utili:

Settore circolare sotteso da un angolo alfa:
Area=alfa*(R^2)/2

Segmento circolare sotteso da una corda lunga d:
(chiamiamo q=d/(2R) )
Area=(R^2)/2 * ( 2arcsin(q) -2q*sqrt(1-q^2) )

Chiamiamo P il perno cui è legata la corda.
Chiamiamo Q l'altro estremo di una corda lunga l e il cui primo estremo è P.
Chiamiamo teta/2 l'angolo OPQ (dove O è il centro della prima circonferenza).
Chiamiamo R il raggio della prima circonferenza.

Allora:

troviamo il punto Q:
facciamo l'intersezione tra le equazioni delle due circonferenze:

x^2 + y^2 = R^2
(x-R)^2 + y^2 = l^2

Otteniamo x= r - (l^2)/(2R)
quindi: Q = ( r-(l^2)/(2R) ; l/2 * sqrt(2-(l/R)^2) )

teta/2 = arccos( (Px-Qx)/(PQ) )
ovvero

teta= 2*arccos( l/(2R) )

Quindi l'area del settore circolare sotteso dall'angolo teta (per le formule scritte sopra) vale:

Asett= teta * (l^2)/2 = (l^2)*arccos(l/(2R))

Rimangono i due settori circolari sottesi dalle corde QP e dall'analoga nella parte inferiore del cerchio.

QP=l, quindi:

Asegm=(R^2)/2 * ( 2arcsin(q) -2q*sqrt(1-q^2) )

dove q=l/(2R)

Area brucabile= Asett+2Asegm=

=(R^2)[4(q^2)*arccos(q) + 2arcsin(q) -2q*sqrt(1-q^2)]

Puoi anche provare a fare un grafico di Areabrucabile/(pi*R^2) in funzione di q ( q compreso tra 0 e 1);

Con gli integrali si ottiene lo stesso identico risultato (ho provato e funziona!)

Ciao!

goblyn

[fireball1]

Complimenti a goblyn per la soluzione, non c'è che dire: praticamente perfetta!

ciao