Difficoltà nella verifica di limite

[oleg.fresi]

Ho questo limite da verificare: $lim_(x->8)(sqrt(2x)-3)=1$
Procedo in questo modo: $|sqrt(2x)-3-1| $|sqrt(2x)-4|$ $4-epsilon Ora di qui ho pensato a fare il sistema: $\{ (2x>(4-epsilon)^2), (2x<(4+epsilon)^2) :}$
Da qui non saprei come proseguire, perchè sviluppando i quadrati le cose si complicherebbero, e non mi porterebbe da nessuna parte. Potreste aiutarmi a capire come continuare?

[axpgn]

Perché sviluppare i quadrati non ti porterebbe da nessuna parte ? Prova ...

[oleg.fresi]

Ok, provo con la prima: $2x>epsilon^2-8epsilon+16$ $->$ $x>(epsilon^2-8epsilon+16)/2$
Ecco il problema nasce qui, come sospettavo, non capisco come continuare.

[axpgn]

Non vedi che sei già arrivato? Ti ricordi cosa devi trovare o hai perso di vista l'obiettivo?
Ovviamente se facevi anche l'altro il quadro risultante sarebbe stato più chiaro

[oleg.fresi]

Cercavo un intorno di 8, quindi avrei dovuto scrivere così?
$8+(epsilon^2-8epsilon)/2

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[axpgn]

Andava bene anche prima (visto che è la stessa cosa) ma scritto così è più evidente che è un intorno di $8$ che è quello che stavi cercando ...

[oleg.fresi]

Quindi quando arrivo a una situazione del genere, non devo fare altre manipolazioni sulla $epsilon$ ?

[orsoulx]

A mio avviso, l'unica 'manipolazione' necessaria consiste nel provare che, per opportuni valori di $ \epsilon $, il primo membro della doppia diseguaglianza è minore di $ 8$ .
Ciao

[oleg.fresi]

Ah così, no io intendevo magari scrivere $(epsilon^2-8epsilon)/2$ in maniera più sintetica

[StellaMartensitica]

Alla fine devi avere un intorno di 8 del tipo
$[8-\delta_1,8+\delta_2]$

$\delta_1, \delta_2 >0$
Sei sicuro che il tuo $\delta_1=-(\varepsilon^2-8\varepsilon)/2$ sia positivo?

[oleg.fresi]

Sì $delta_1$ è positivo, solo che tu hai messo un meno davanti. Ma quindi non capisco, ho fatto giusto oppure no?

[StellaMartensitica]

$ \delta_1=-(\varepsilon^2-8\varepsilon)/2 $

Verifico che questo $\delta_1$ sia positivo:

$-(\varepsilon^2-8\varepsilon)/2>0$ Ciò deve essere vero per un $\epsilon$ piccolo a piacere.

$(\varepsilon^2-8\varepsilon)/2<0$
$\varepsilon^2-8\varepsilon<0$
$varepsilon^2<8\varepsilon$

$\varepsilon>0$, divido ambo i membri per $\varepsilon$ e il verso della disuguaglianza si conserva

$\varepsilon<8$ a me fa piacere che $\varepsilon$ sia più piccolo di $8$, quindi la prima è vera.

Mi sa che non hai capito ancora bene la definizione di limite. Devi imparare a memoria la definizione $\epsilon \delta$ come minimo e magari anche quelle per i limiti infiniti o all'infinito.
Del resto è normale, è un argomento nuovo...

[oleg.fresi]

Non sapevo ci fosse questa parte col delta da fare, d'altronde nel mio libro non se ne parla. All'inizio pensavo che la verifica finisse lì, come axpgn sembrava confermare. Ma quindi in base a cosa devo fare le considerazioni col delta?

[StellaMartensitica]

Ma si certo che è finita ma mettiamo, per esempio, che tu abbia

$ 8+(epsilon^2-8epsilon)/2
e che $(\epsilon^2-8\epsilon)/2$ sia positivo

(evidentemente $\delta_2=(\epsilon^2+8\epsilon)/2$ è positivo perchè somma di numeri positivi ecc ecc se hai dubbi al riguardo possiamo discuterne).

Bene se $(\epsilon^2-8\epsilon)/2$ non fosse negativo, il punto $8$ non appartiene all'intorno trovato, e anzi a quel punto salta fuori una roba balenga: il limite non è verificato (oppure hai sbagliato qualcosa).

Certe volte lo vedi chiaramente, per esempio nel caso che hai proposto qualche tempo fa dove alla fine avevi un intorno del tipo

$(1-3\epsilon/(1+\epsilon), 1+\delta_2)$
Perché si tratta di espressioni di primo grado.

[oleg.fresi]

ma $(epsilon^2-8epsilon)/2$ come capisco se è negativo oppure no e quindi sapere se il limite è effettivamente verificato

[StellaMartensitica]

Fai quello che ho fatto per esempio, lo poni maggiore o uguale a zero ma tenendo a mente che $\epsilon>0$.

Se ottieni che $\epsilon<$qualcosa di positivo allora sei giusto. OK
Se ottieni $\epsilon>$qualcosa di negativo sei ancora giusto. OK
Se ottieni una roba tipo $\epsilon<$ qualcosa di negativo allora non sei giusto KO

In pratica è un sistema:
$\{((\epsilon^2-8\epsilon)/2<0),(\epsilon>0 _________ "Condizione proveniente dalla def. di limite"):}$
Deve avere soluzione per un $\epsilon$ positivo piccolo a piacere.

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille per il consiglio! MI servirà per i prossimi esercizi!