Difficoltà con verifica limite
Ho questo limite e devo farne la verifica: $lim_(x->1)(1/(x+2))=1/3$
Procedo in questo modo: $abs(1/(x+2)-1/3)$ $abs((1-x)/(3(x+2)))
Procedo in questo modo: $abs(1/(x+2)-1/3)
Risposte
In primo luogo $(x+2)$ sta al den.
In secondo luogo devi tenere conto del valore a cui sta tendendo la x ovvero avrai che $x+2=3$. Lo scopo è trovare un intorno, non risolvere il limite.
In secondo luogo devi tenere conto del valore a cui sta tendendo la x ovvero avrai che $x+2=3$. Lo scopo è trovare un intorno, non risolvere il limite.
Ma se sostituisco 1 starei risolvendo il limite, quindi questa
avrai che $x+2=3$affermazione non la capisco.
Perdonami, sono stato poco chiaro e nel farlo ho detto una cosa che poteva essere interpretata come una stupidaggine. Mi correggo immediatamente. Ti imposto soltanto il procedimento, l'altra metà la lascio a te.
Tu hai questo, come hai correttamente scritto:
$ abs(1/(x+2)-1/3)
A questo punto fai den. com.:
$abs((3-x-2)/(3*(x+2)))
A questo punto posso esautorare il valore assoluto per quanto riguarda quel tre al denominatore, e posso riscrivere:
$abs((1-x)/(x+2))<3epsilon$
A questo punto ragiono così: $\epsilon$ è piccolo a piacere, e a me fa piacere che sia così un numero piccolo da rendere piccolo anche $3*\epsilon$, quindi riscrivo così la disuguaglianza:
$abs((1-x)/(x+2))<\epsilon$
A questo punto devi per forza passare al sistema in quanto non è banalissimo:
$\{((1-x)/(x+2)<\epsilon),((1-x)/(x+2)> -\epsilon):}$
Considero la prima delle due:
$(1-x)/(x+2)- \epsilon<0$ OK?
A questo punto fai:
$(1-x- \epsilon*x-2* \epsilon)/(x+2)<0$
$((-1- \epsilon)*x+1-2* \epsilon)/(x+2)<0$
Studio prima di tutto il den: è maggiore di zero per $x> -2$
Poi studio il num.
$(-1-\epsilon)*x>2\epsilon-1$
$\epsilon$ sempre positivo, da cui $-1-\epsilon$ sempre negativo:
$x<(2*\epsilon-1)/(-1-\epsilon)$
$x<(-1-\epsilon+3epsilon)/(-1-\epsilon)$
$x<1-(3\epsilon)/(1+\epsilon)$
la soluzione della prima disequazione del sistema è quindi:
$x<-2 vv x> 1- (3\epsilon)/(1+\epsilon)$
La quantità $(3*\epsilon)/(1+\epsilon)$ è evidentemente positiva. Metti a sistema con le soluzioni dell'altra disequazione e dovresti ottenere l'intorno di $1$ cercato.
Tu hai questo, come hai correttamente scritto:
$ abs(1/(x+2)-1/3)
A questo punto fai den. com.:
$abs((3-x-2)/(3*(x+2)))
A questo punto posso esautorare il valore assoluto per quanto riguarda quel tre al denominatore, e posso riscrivere:
$abs((1-x)/(x+2))<3epsilon$
A questo punto ragiono così: $\epsilon$ è piccolo a piacere, e a me fa piacere che sia così un numero piccolo da rendere piccolo anche $3*\epsilon$, quindi riscrivo così la disuguaglianza:
$abs((1-x)/(x+2))<\epsilon$
A questo punto devi per forza passare al sistema in quanto non è banalissimo:
$\{((1-x)/(x+2)<\epsilon),((1-x)/(x+2)> -\epsilon):}$
Considero la prima delle due:
$(1-x)/(x+2)- \epsilon<0$ OK?
A questo punto fai:
$(1-x- \epsilon*x-2* \epsilon)/(x+2)<0$
$((-1- \epsilon)*x+1-2* \epsilon)/(x+2)<0$
Studio prima di tutto il den: è maggiore di zero per $x> -2$
Poi studio il num.
$(-1-\epsilon)*x>2\epsilon-1$
$\epsilon$ sempre positivo, da cui $-1-\epsilon$ sempre negativo:
$x<(2*\epsilon-1)/(-1-\epsilon)$
$x<(-1-\epsilon+3epsilon)/(-1-\epsilon)$
$x<1-(3\epsilon)/(1+\epsilon)$
la soluzione della prima disequazione del sistema è quindi:
$x<-2 vv x> 1- (3\epsilon)/(1+\epsilon)$
La quantità $(3*\epsilon)/(1+\epsilon)$ è evidentemente positiva. Metti a sistema con le soluzioni dell'altra disequazione e dovresti ottenere l'intorno di $1$ cercato.
Non ho capito un paio di cose: nel terzo passaggio porti fuori il $3$, ma non dovrebbe essere $1/3$?
Poi quando arrivi alla fine della disequazione fratta, non bisogna fare prima il grafico segni?
Poi quando arrivi alla fine della disequazione fratta, non bisogna fare prima il grafico segni?
Al terzo passaggio ho moltiplicato per 3 ambo i membri.
Il quadro dei segni non sono in grado di riprodurtelo qua su matematicamente. Devo provare a farte lo tu sul foglio. Chiaramente devi tenere conto del fatto che dovrai porre $\delta_1=(3 \epsilon)/(1+\epsilon)$ e $\delta_1$ sarà positivo.
Il quadro dei segni non sono in grado di riprodurtelo qua su matematicamente. Devo provare a farte lo tu sul foglio. Chiaramente devi tenere conto del fatto che dovrai porre $\delta_1=(3 \epsilon)/(1+\epsilon)$ e $\delta_1$ sarà positivo.
Al massimo ti mando una foto. Ma è roba di seconda... dai su.
Si, sono in grado di farlo, l'ho chiesto nel dubbio, perchè non l'hai detto, pensavo non andasse fatto.
Quando è fratta c'è sempre un quadro da fare. L'importante è ti sia chiaro come poi alla fine otterrai una cosa del tipo $x in [1-\delta_1,1+\delta_2]$, da cui il limite iniziale. Un po' più interessanti sono le verifiche di certi limiti del tipo $lim_(x->1)(x^3+1)=2$
Se hai capito la definizione però alla fine sono tutti uguali, anche quelli "limite finito per x che tende all'infinito"
Se hai capito la definizione però alla fine sono tutti uguali, anche quelli "limite finito per x che tende all'infinito"
Perfetto, grazie tante per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo