Difficoltà con una disequazione con funzione $arctan(x)$.

[jellybean22]

Buongiorno a tutti! Stavo provando a fare uno studio di funzione $f(x)=arctan(x)/x$ quando studiando la derivata prima $f'(x)=(x-arctan(x)-x^2arctan(x))/(x^2(1+x^2))$ mi ritrovo a porre il numeratore maggiore di 0, quindi $x-arctan(x)-x^2arctan(x)>0$. Provando a sostituire valori prima maggiori di zero e successivamente valori minori di 0, noto che per $x<0$, $f(x)$ è crescente e che per $x>0$, $f(x)$ è decrescente. Ma non ho idea di come si possa risolvere per via algebrica! Potreste darmi qualche consiglio sul da farsi?

Grazie a tutti!

[giammaria2]

Non si può risolvere per via algebrica ma solo graficamente. La disequazione può essere scritta come $x>(1+x^2)arctan(x)$ e, poiché la parentesi è positiva, $x/(1+x^2)>arctan(x)$ (ottenibile anche dal primo calcolo fatto per la derivata). A questo punto disegni su uno stesso grafico $y=arctan(x)$ e $y=x/(1+x^2)$; per quest'ultima ti occorrerà uno studio di funzione, che puoi limitare alle sue parti essenziali. Noti ora che le due curve si incontrano solo nell'origine e che la tua soluzione è corretta.

[jellybean22]

Si, ho fatto graficamente ed esce. Grazie mille