Difficoltà con un limite.

[jellybean22]

Buona sera a tutti, avrei un problema con la risoluzione del seguente limite: $lim_(x->2)(cos(pi/x))/(ln(x-1))$
Ho provato ad applicare al denominatore il limite notevole del logaritmo, ho anche provato ad applicare un cambiamento di variabile e il principio di eliminazione degli infinitesimi... Ma non arrivo da nessuna parte; eppure non mi sembra un limite difficile. Qualche consiglio?

Grazie a tutti.

[Gi81]

Con De L'Hospital dovresti arrivare al risultato abbastanza comodamente

[jellybean22]

Purtroppo De L'Hopital ancora non l'ho fatto, neanche le derivate. Abbiamo fatto solo i limiti notevoli.. e le forme indeterminate che si risolvono immediatamente. Ci sarebbe quindi un'altra via oltre De L'Hopital con gli strumenti a mia disposizione? Grazie a tutti.

[Gi81]

Ok,allora ti suggerisco un'altra strada: $lim_(x->2)(cos(pi/x))/(ln(x-1))$ Sostituzione: $t=x-2$
Abbiamo $lim_(t->0) (cos(pi/(t+2)))/(ln(1+t))$

Ora sfrutto la seguente identità goniometrica: $cos(alpha)=sin(pi/2- alpha)$

$cos(pi/(t+2))=sin(pi/2 -pi/(t+2))=sin((pi*t)/(2*(t+2)))$

Ecco, ora puoi arrivare a dei limiti notevoli: $sin(y)/(y)$ e $y/(ln(1+y))$

[jellybean22]

Perfetto, grazie mille!
Una domanda: il cambio di variabile fino a quando non avrò strumenti più semplici, devo utilizzarlo nei casi in cui proprio non so come procedere?

[Gi81]

Io uso il cambio di variabilein modo da ricondurmi ad avere un limite per la variabile che tende a $0$, $+oo$ o $-oo$
Se questo già succede di partenza, solitamente non è necessario farlo.

Se invece hai $lim_(x->2)$ (come nel nostro caso), conviene tantissimo riportarsi a $lim_(t->0)$
Fondamentalmente perchè così sfrutti i limiti notevoli