Difficoltà con un limite
Salve vi scrivo in quanto trovo difficoltà nel risolvere il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (log(x^3+1))/x $
I passaggi che ho provato a fare sono i seguenti:
$ lim_(x -> 0) 1/x*(log(x^3+1))$
$ lim_(x -> 0) 1/x*log(x^3*(1+1/x^3)) $
A questo punto non so come continuare; quello che volevo fare era ricondurmi al limite notevole $(1+1/x)^x$. Quello che mi disturba è quella $x^3$ perchè se fosse stata $x^1$ avrei risolto. Tra l'altro l'esercizio riporta il logaritmo senza base, per cui non capisco con quale base si sta lavorando.
Chiedo quindi come posso fare ad andare avanti nella risoluzione di questo limite.
Grazie.
$ lim_(x -> 0) (log(x^3+1))/x $
I passaggi che ho provato a fare sono i seguenti:
$ lim_(x -> 0) 1/x*(log(x^3+1))$
$ lim_(x -> 0) 1/x*log(x^3*(1+1/x^3)) $
A questo punto non so come continuare; quello che volevo fare era ricondurmi al limite notevole $(1+1/x)^x$. Quello che mi disturba è quella $x^3$ perchè se fosse stata $x^1$ avrei risolto. Tra l'altro l'esercizio riporta il logaritmo senza base, per cui non capisco con quale base si sta lavorando.
Chiedo quindi come posso fare ad andare avanti nella risoluzione di questo limite.
Grazie.
Risposte
scusa ma quel limite notevole non si usa per $x \to \infty$?
che io sappia si, infatti con una sostituzione, ad esempio ponendo y = 1/x dovrei riuscire a ricondurmi al caso di limite per per y che tende ad infinito del limite notevole.
ah ok!
io però proverei a risolverlo con gli sviluppi in serie
io però proverei a risolverlo con gli sviluppi in serie
diciamo che non ne sono in grado. Comunque nel testo dell'esercizio si consiglia di risolverlo tenendo conto del limite notevole.
Dal secondo limite notevole si ricava che
$lim_(x->0)(ln(x+1))/x=1$
formula spesso studiata a memoria; in caso contrario puoi dimostrarla prima di usarla.
Cerchiamo di ricondurci a questa; supponiamo che la base del logaritmo sia $a$.
$lim_(x->0)(log_a (x^3+1))/x=lim_(x->0)(ln(x^3+1))/(xlna)=1/(lna) lim_(x->0)(ln(x^3+1)/(x^3)*x^2)$
Con la sostituzione $x^3=u$ vedi che la frazione tende ad $1$, quindi il limite vale $0$
$lim_(x->0)(ln(x+1))/x=1$
formula spesso studiata a memoria; in caso contrario puoi dimostrarla prima di usarla.
Cerchiamo di ricondurci a questa; supponiamo che la base del logaritmo sia $a$.
$lim_(x->0)(log_a (x^3+1))/x=lim_(x->0)(ln(x^3+1))/(xlna)=1/(lna) lim_(x->0)(ln(x^3+1)/(x^3)*x^2)$
Con la sostituzione $x^3=u$ vedi che la frazione tende ad $1$, quindi il limite vale $0$
ciao, grazie. Volevo capire solo due cose: nel primo passaggio hai effettuato il cambiamento di base? E poi, come mai è possibile scrivere fuori dal limite il termine $1/lna$
"JoJo_90":
ciao, grazie. Volevo capire solo due cose: nel primo passaggio hai effettuato il cambiamento di base? E poi, come mai è possibile scrivere fuori dal limite il termine $1/lna$
$1/(ln(a))$ è una costante. Si dimostra semplicissimamente che puoi fare questo passaggio $lim_(x -> x_0) k f(x) = k * lim_(x -> x_0) f(x)$ .
ok grazie per l'aiuto.
Rieccomi. Premetto che no so se è giusto continuare su questo post o aprirne un altro; ritenevo che fosse più corretto continuare qui dato che l'oggetto è lo stesso. Detto questo vengo al dunque.
Facendo vari esercizi mi sono imbattuto in un altro limite che non riesco a risolvere. Il limite in questione è il seguente:
$ lim_(x -> 2) (x^3+2x^2-8x)/(x^3-2x^2+2x-4) $
"Sostituendo" il valore della x nella funzione mi viene fuori $-16/0$. Questa non è una forma indeterminata, tuttavia non è nemmeno un limite immediatamente risolvibile per semplice sostituzione della x.
A primo acchitto avrei detto che il limite valesse $oo$ ma così non è e se devo dirla tutta non ho ben capito perchè.
Dunque per risolverlo avevo pensato di scomporre il numeratore e il denominatore; il numeratore non penso si possa scomporre (o almeno io non sono riuscito a scomporlo) mentre scomponendo il denominatore ottengo il limite in questa forma:
$ lim_(x -> 2) (x^3+2x^2-8x)/((x-2)(x^2+2)) $
Arrivato qui non saprei come continuare poichè non vedo un miglioramento della situazione dopo aver effettuato la scomposizione. Vorrei quindi capire come è possibile risolvere questo limite.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Facendo vari esercizi mi sono imbattuto in un altro limite che non riesco a risolvere. Il limite in questione è il seguente:
$ lim_(x -> 2) (x^3+2x^2-8x)/(x^3-2x^2+2x-4) $
"Sostituendo" il valore della x nella funzione mi viene fuori $-16/0$. Questa non è una forma indeterminata, tuttavia non è nemmeno un limite immediatamente risolvibile per semplice sostituzione della x.
A primo acchitto avrei detto che il limite valesse $oo$ ma così non è e se devo dirla tutta non ho ben capito perchè.
Dunque per risolverlo avevo pensato di scomporre il numeratore e il denominatore; il numeratore non penso si possa scomporre (o almeno io non sono riuscito a scomporlo) mentre scomponendo il denominatore ottengo il limite in questa forma:
$ lim_(x -> 2) (x^3+2x^2-8x)/((x-2)(x^2+2)) $
Arrivato qui non saprei come continuare poichè non vedo un miglioramento della situazione dopo aver effettuato la scomposizione. Vorrei quindi capire come è possibile risolvere questo limite.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
"JoJo_90":
$ lim_(x -> 2) (x^3+2x^2-8x)/(x^3-2x^2+2x-4) $
"Sostituendo" il valore della x nella funzione mi viene fuori $-16/0$.
sicuro?
"JoJo_90":
il numeratore non penso si possa scomporre
prova a raccogliere $x$...
grazie per aver risposto.
Allora diciamo che ho combinato un pasticcio. Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0 e raccogliendo la x ho risolto.
Grazie per le dritte.
Allora diciamo che ho combinato un pasticcio. Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0 e raccogliendo la x ho risolto.
Grazie per le dritte.
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