Difficoltà con problema "retta"
Salve ragazzi, è da settimare che ragiono a questo problema sulle rette, ma non ci riesco ad andare avanti. Potete spiegarmi l'esercizio e come svolgerlo, visto che i successivi che dovrò affrontare saranno simili a questo ? Grazie
(k-2)x+3y-4k+2=0
determinare
1 - generatrici e centro del fascio - questo punto riesco a svolgerlo
2 - le rette $r_1$ ed $r_2$ che distano 2 dall'origine, indicando con $r_1$ quella parallela all'asse x.
3- le bisettrici $b_1$ e $b_2$ degli angoli formati da $r_1$ ed $r_2$, verificando che $b_1$ passa per l'origine e darne una giustificazione geometrica
4 - detto A il punto di $r_1$ di ascissa nulla, condurre per A la perpendicolare a $b_1$ fino ad incontrare in B la retta $r_2$ e verificare che il triangolo CAB è isoscele.
VI ringrazio molto in anticipo
(k-2)x+3y-4k+2=0
determinare
1 - generatrici e centro del fascio - questo punto riesco a svolgerlo
2 - le rette $r_1$ ed $r_2$ che distano 2 dall'origine, indicando con $r_1$ quella parallela all'asse x.
3- le bisettrici $b_1$ e $b_2$ degli angoli formati da $r_1$ ed $r_2$, verificando che $b_1$ passa per l'origine e darne una giustificazione geometrica
4 - detto A il punto di $r_1$ di ascissa nulla, condurre per A la perpendicolare a $b_1$ fino ad incontrare in B la retta $r_2$ e verificare che il triangolo CAB è isoscele.
VI ringrazio molto in anticipo
Risposte
Benvenuto nel forum,
ti do qualche spunto.
Saprai che data una retta $ax+by+c=0$, la distanza da un punto $(x_0,y_0)$ è
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{sqrt(a^2+b^2)}$
Ora, in questo caso abbiamo che le coordinate $x_0$ e $y_0$ sono nulle (l'origine, quindi al numeratore rimane solo $c$).
Ma $c$ è il termine noto, che vale $-4k+2$.
Nel nostro caso $a$ vale $k-2$ e invece $b$ sarebbe $3$.
Quindi abbiamo che la nostra distanza, in questo caso, è data da
$d=(|-4k+2|)/(sqrt((k-2)^2+3^2))$
ma il problema impone $d=2$, quindi occorre risolvere
$2=(|-4k+2|)/(sqrt((k-2)^2+3^2))$
Vedrai che una di queste è parallela all'asse $x$
Per quanto riguarda il secondo, occorre ricordare la definizione di bisettrice.
Questa retta è il luogo di punti equidistanti da altre due rette (è la definizione alternativa a quella degli angoli uguali).
Quindi prendi un generico punto (x,y).
Calcoli la distanza di tale punto dalla retta $r_1$, poi la distanza di tale punto dalla retta $r_2$
Uguagli queste due distante, e otterrai due rette.
Fammi sapere.
Per problemi sulla geometria analitica, puoi vedere anche qui
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... analitica/
dove ne troverai diversi con lo svolgimento nel dettaglio.
Ciao.
ti do qualche spunto.
Saprai che data una retta $ax+by+c=0$, la distanza da un punto $(x_0,y_0)$ è
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{sqrt(a^2+b^2)}$
Ora, in questo caso abbiamo che le coordinate $x_0$ e $y_0$ sono nulle (l'origine, quindi al numeratore rimane solo $c$).
Ma $c$ è il termine noto, che vale $-4k+2$.
Nel nostro caso $a$ vale $k-2$ e invece $b$ sarebbe $3$.
Quindi abbiamo che la nostra distanza, in questo caso, è data da
$d=(|-4k+2|)/(sqrt((k-2)^2+3^2))$
ma il problema impone $d=2$, quindi occorre risolvere
$2=(|-4k+2|)/(sqrt((k-2)^2+3^2))$
Vedrai che una di queste è parallela all'asse $x$
Per quanto riguarda il secondo, occorre ricordare la definizione di bisettrice.
Questa retta è il luogo di punti equidistanti da altre due rette (è la definizione alternativa a quella degli angoli uguali).
Quindi prendi un generico punto (x,y).
Calcoli la distanza di tale punto dalla retta $r_1$, poi la distanza di tale punto dalla retta $r_2$
Uguagli queste due distante, e otterrai due rette.
Fammi sapere.
Per problemi sulla geometria analitica, puoi vedere anche qui
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... analitica/
dove ne troverai diversi con lo svolgimento nel dettaglio.
Ciao.
Grazie. Sei stato gentilissimo. Ti rigrazio molto per la tua disponibilità. A presto !!!
Scusami, ancora. Potresti spiegarmi un pò, anche l'ultimo punto ? Credo proprio che sia la parte più difficile del problema.
Non è ben specificato chi sia il punto $C$, a chi si riferisce.
In ogni caso, in linea generale: per trovare il punto della retta ad ascissa nulla, basta porre $x=0$ e vedere che valore di $y$ ti esce fuori.
Troverai un punto del tipo $(0,y)$.
Detto ciò, per condurre la perpendicolare a $b_1$, calcoli il fascio di rette per $A$ (fascio proprio) e poni come coefficiente angolare il reciproco inverso di quello di $b_1$.
Trovata tale retta, metti a sistema con $r_2$ facilmente per trovare le coordinate di $B$.
Infine per vedere se il triangolo è isoscele, è più che sufficiente andarsi a calcolare direttamente le lunghezze dei due lati e far vedere che sono uguali.
O altrimenti potresti calcolare l'equazione dell'asse della base, e mostrare che il vertice opposto appartiene a tale asse, in modo che il vertice sarebbe altezza e mediana rispetto al lato opposto, e bisettrice dell'angolo che effettivamente biseca.
Sono solo un po' di calcoletti (magari noiosi) da fare.
Ciao.
In ogni caso, in linea generale: per trovare il punto della retta ad ascissa nulla, basta porre $x=0$ e vedere che valore di $y$ ti esce fuori.
Troverai un punto del tipo $(0,y)$.
Detto ciò, per condurre la perpendicolare a $b_1$, calcoli il fascio di rette per $A$ (fascio proprio) e poni come coefficiente angolare il reciproco inverso di quello di $b_1$.
Trovata tale retta, metti a sistema con $r_2$ facilmente per trovare le coordinate di $B$.
Infine per vedere se il triangolo è isoscele, è più che sufficiente andarsi a calcolare direttamente le lunghezze dei due lati e far vedere che sono uguali.
O altrimenti potresti calcolare l'equazione dell'asse della base, e mostrare che il vertice opposto appartiene a tale asse, in modo che il vertice sarebbe altezza e mediana rispetto al lato opposto, e bisettrice dell'angolo che effettivamente biseca.
Sono solo un po' di calcoletti (magari noiosi) da fare.
Ciao.
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