Difficoltà con limite
Ho questo limite: $lim_(x->+infty)((1-x)^(2x)/(1+x^2)^x)$
Risolvo così: $lim_(x->+infty)(((1+(1/(-1/x)))^((-2x^2)*(-1/x)))/((1+(1/(1/x^2))))^(x^3*1/x^2))$
E infine: $lim_(x->+infty)((e^(2x^2))/(e^(x^3)))$
Mi potreste aiutare a capire dove ho sbagliato?
Risolvo così: $lim_(x->+infty)(((1+(1/(-1/x)))^((-2x^2)*(-1/x)))/((1+(1/(1/x^2))))^(x^3*1/x^2))$
E infine: $lim_(x->+infty)((e^(2x^2))/(e^(x^3)))$
Mi potreste aiutare a capire dove ho sbagliato?
Risposte
$ (1-x)^(2x)/(1+x^2)^x=(x-1)^(2x)/(1+x^2)^x = (x^(2x)(1+1/-x)^(2x))/(x^(2x)(1+1/x^2)^x)=1/([(1+1/-x)^(-x)]^2[(1+1/x^2)^(x^2)]^(1/x))$
Ma verrebbe un $1/(e^((2x+1)/x))$
Ma nel mio procedimento cosa ho sbagliato?
Ho calcolato il limite del numeratore e denominatore separatamente, ma evidentemente ho commesso qualche errore.
Ma nel mio procedimento cosa ho sbagliato?
Ho calcolato il limite del numeratore e denominatore separatamente, ma evidentemente ho commesso qualche errore.
Alternativa:
$ lim_(x->+infty) (1-x)^(2x)/(1+x^2)^x $
$ lim_(x->+infty) (((1-x)^2)^x)/(1+x^2)^x $
$ lim_(x->+infty) ((1+x^2-2x)/(1+x^2))^x $
$ lim_(x->+infty) (1+1/((1+x^2)/(-2x)))^x $
$ lim_(x->+infty) ((1+1/((1+x^2)/(-2x)))^((1+x^2)/(-2x)))^((-2x^2)/(1+x^2)) $
$ lim_(x->+infty) e^((-2x^2)/(1+x^2)) = e^(-2)$
$ lim_(x->+infty) (1-x)^(2x)/(1+x^2)^x $
$ lim_(x->+infty) (((1-x)^2)^x)/(1+x^2)^x $
$ lim_(x->+infty) ((1+x^2-2x)/(1+x^2))^x $
$ lim_(x->+infty) (1+1/((1+x^2)/(-2x)))^x $
$ lim_(x->+infty) ((1+1/((1+x^2)/(-2x)))^((1+x^2)/(-2x)))^((-2x^2)/(1+x^2)) $
$ lim_(x->+infty) e^((-2x^2)/(1+x^2)) = e^(-2)$
"ZfreS":
Ma verrebbe un $1/(e^((2x+1)/x))$
Viene $1/(e^2e^0)=e^(-2)$
Bastava sostituire
Bene, ho capito i vostri procedimenti, ma vorrei capire dove ho sbagliato io
"ZfreS":
Bene, ho capito i vostri procedimenti, ma vorrei capire dove ho sbagliato io
Comparali e trova la risposta da solo!
Ammazza che sfaticato
"Bokonon":
[quote="ZfreS"]Bene, ho capito i vostri procedimenti, ma vorrei capire dove ho sbagliato io
Comparali e trova la risposta da solo!
Ammazza che sfaticato[/quote]
Provo a mediare, dai!
Facciamo così, @ZfreS, tra il primo e il secondo passaggio posta qualche passaggio intermedio, magari trasforma a parte numeratore e denominatore e vediamo cosa c'è che non va, che ne dici?
Non riprendo Bokonon perché comunque è complesso "in un colpo solo" passare dal testo al secondo passaggio (ma sono reduce da una giornata di lavoro, quindi magari è per questo). Però occhio, stiamo calmi che è un mondo difficile per tutti.
Che ne dite?
Uei! Calma! Non mettevo le faccine manco nel 1995 su Usenet, ma era chiaro che il mio era un commento "bonario" (uno scappellotto diciamo). Mica posto per ingrossare il mio ego: lo faccio perchè mi diverto a risolvere e se questo aiuta bene, se no uguale!
Zfres sa che oggi l'ho aiutato un poco con due problemi, dubito che lui pensi male di me per un commento che veniva dal cuore!
Zfres sa che oggi l'ho aiutato un poco con due problemi, dubito che lui pensi male di me per un commento che veniva dal cuore!
Scusate se vi sono sembrato troppo esigente, faccio tutti i passaggi separando i due limiti:
$1)$ $lim_(x->+infty)(1-x)^(2x)$
Diventa: $lim_(x->+infty)(1-x)^(2x)$
Poi: $lim_(x->+infty)(1-1/(1/x))^((2x))$
$lim_(x->+infty)(1-1/(1/x))^((2x)*(-1/x)*(-x))$
$lim_(x->+infty)((1+1/(-1/x))^(-1/x))^((2x)*(-x))$
$lim_(x->+infty)(e^(2x^2))$
$2)$ $lim_(x->+infty)(1+x^2)^x$
Poi diventa: $lim_(x->+infty)(1+1/(1/x^2))^x$
$lim_(x->+infty)((1+1/(1/x^2))^(1/x^2))^(x*x^2)$
$lim_(x->+infty)(e^(x^3))$
Infine ricompongo: $lim_(x->+infty)((e^(2x^2))/(e^(x^3)))$
E adesso penso che si proceda così: $lim_(x->+infty)(e^(2x^2-x^3))$
Quindi ora rimarrebbe da risolvere la forma indeterminata all'esponente di e $+infty-infty$, giusto?
$1)$ $lim_(x->+infty)(1-x)^(2x)$
Diventa: $lim_(x->+infty)(1-x)^(2x)$
Poi: $lim_(x->+infty)(1-1/(1/x))^((2x))$
$lim_(x->+infty)(1-1/(1/x))^((2x)*(-1/x)*(-x))$
$lim_(x->+infty)((1+1/(-1/x))^(-1/x))^((2x)*(-x))$
$lim_(x->+infty)(e^(2x^2))$
$2)$ $lim_(x->+infty)(1+x^2)^x$
Poi diventa: $lim_(x->+infty)(1+1/(1/x^2))^x$
$lim_(x->+infty)((1+1/(1/x^2))^(1/x^2))^(x*x^2)$
$lim_(x->+infty)(e^(x^3))$
Infine ricompongo: $lim_(x->+infty)((e^(2x^2))/(e^(x^3)))$
E adesso penso che si proceda così: $lim_(x->+infty)(e^(2x^2-x^3))$
Quindi ora rimarrebbe da risolvere la forma indeterminata all'esponente di e $+infty-infty$, giusto?
"Bokonon":
Uei! Calma! Non mettevo le faccine manco nel 1995 su Usenet, ma era chiaro che il mio era un commento "bonario" (uno scappellotto diciamo). Mica posto per ingrossare il mio ego: lo faccio perchè mi diverto a risolvere e se questo aiuta bene, se no uguale!
Zfres sa che oggi l'ho aiutato un poco con due problemi, dubito che lui pensi male di me per un commento che veniva dal cuore!
Scusami, però posso dirti di metterti a posto mio, esco da lavoro, passo qui (ho il nome in verde quindi da grande potere vengono fuori grandi responsabilità
) leggo il messaggio... che posso pensare? Ma d'altra parte anch'io ho messo questa faccia " " perché non intendevo richiamare ma solo stemperare i toni[nota]Se volevo richiamare mettevo il box giallo che fa venire l'ansia. 
[/nota].EDIT
@Zfres, per il calcolo ho fatto casino, ma spiego l'arcano nel prossimo messaggio (ho editato questo).
Ma se è giusto come ho scritto il risultato viene $0$ e non $1/e^2$
Fermi tutti - soprattutto io! - a quest'ora mi sono lasciato ingannare.
Il limite notevole è
$lim_(f(x)->+\infty) (1+1/(f(x)))^(f(x))=e$
in realtà qui
per $x->+\infty$, $1/x -> 0$ quindi non rientra nel limite notevole. Con un po' più di lucidità mentale ho visto che uno svolgimento corretto lo ha proposto axpgn.
Quindi @ZfreS e @Zero87 (
) per le prossime volte occorre fare bene attenzione.
Il limite notevole è
$lim_(f(x)->+\infty) (1+1/(f(x)))^(f(x))=e$
in realtà qui
"ZfreS":
$ lim_(x->+infty)(1-1/(1/x))^((2x)*(-1/x)*(-x)) $
per $x->+\infty$, $1/x -> 0$ quindi non rientra nel limite notevole. Con un po' più di lucidità mentale ho visto che uno svolgimento corretto lo ha proposto axpgn.
Quindi @ZfreS e @Zero87 (
) per le prossime volte occorre fare bene attenzione.
Quindi l'errore stava qui!
Grazie tante per l'aiuto e scusa ancora per l'ora!
Grazie tante per l'aiuto e scusa ancora per l'ora!
Ho un dubbio piuttosto sciocco sull'esercizio in questione. Ha senso calcolare il limite a $+oo$ considerando il dominio della funzione? A me pare di no, mentre avrebbe senso farlo per $-oo$, con le medesime considerazioni fatte dagli altri per la risoluzione
Si perché il numeratore è elevato alla $2x$, quindi è anche elevato al quadrato.
Volendo essere rigorosi, ha ragione Obidream, in quanto essendoci l'esponente reale, la definizione vuole che ci sia la base positiva.
Non conta che $1-x$ possa essere elevato al quadrato prima dell'elevamento alla $x$, perché è equivalente al viceversa.
In pratica, va bene così
Cordialmente, Alex
Non conta che $1-x$ possa essere elevato al quadrato prima dell'elevamento alla $x$, perché è equivalente al viceversa.
In pratica, va bene così
Cordialmente, Alex
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