Difficoltà con la risoluzione di un problema di ottimizzazione di geometria solida
Salve, ho bisogno di una mano con la risoluzione di questo problema di ottimizzazione, che proprio non riesco a capire come si faccia:
"Fra i parallelepipedi rettangolari con volume costante V e altezza h=4, determina quello con area laterale minima." [risultato=parallelepipedo a base quadrata]
Grazie a chiunque mi aiuterà!
"Fra i parallelepipedi rettangolari con volume costante V e altezza h=4, determina quello con area laterale minima." [risultato=parallelepipedo a base quadrata]
Grazie a chiunque mi aiuterà!
Risposte
Indicando i lati della base con x e y, il volume è dato da $V = 4xy$. Il grafico di y (x) è una iperbole equilatera,
$y = V/4*1/x$
L'area laterale è $A = 2(x+y)*4 -> y = A/8 - x$, una retta con coefficiente angolare -1, che interseca l'asse y in $A/8$
Le intersezioni della retta e dell'iperbole rappresentano le soluzioni dato $A$. Il valore minimo di A si ha quando la retta è tangente all'iperbole nel suo vertice, quindi $x = y$
$y = V/4*1/x$
L'area laterale è $A = 2(x+y)*4 -> y = A/8 - x$, una retta con coefficiente angolare -1, che interseca l'asse y in $A/8$
Le intersezioni della retta e dell'iperbole rappresentano le soluzioni dato $A$. Il valore minimo di A si ha quando la retta è tangente all'iperbole nel suo vertice, quindi $x = y$
Grazie mille!
Più semplicemente
Indicando i lati della base con $x$ e $b$, sapendo che il volume è costante si ricava $b=4V/x$. Dall'area laterale
$A=2(x+b)⋅4→A=2x+8V/x$, adesso basta derivare A e cercare il minimo.
Indicando i lati della base con $x$ e $b$, sapendo che il volume è costante si ricava $b=4V/x$. Dall'area laterale
$A=2(x+b)⋅4→A=2x+8V/x$, adesso basta derivare A e cercare il minimo.
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