Difficoltà con integrale
Ho questo integrale da risolvere: $int 2/(sqrtx*(1+sqrt(x)))dx$. La prima cosa che ho pensato è risolverlo per sostituzione, ma il fatto è che devo risolverlo riconducendola alla forma: $int (f'(x))/(f(x))dx=ln|f(x)|+c$. Il problema stà proprio qui. Ho provato a sviluppare il denominatore così: $sqrt(x)+x$, poi ho portato il due fuori, ma non noto nulla di riconducibile a quella forma. Potreste aiutarmi per favore a capire?
Risposte
$ int 2/(sqrtx*(1+sqrt(x)))dx $
$ 4int 1/(2sqrtx*(1+sqrt(x)))dx $
$ 4int 1/(2sqrtx*(1+sqrt(x)))dx $
$t=1+sqrt(x)$
$ dt/dx=1/(2*sqrt(x))$
$dx=2*sqrt(x)*dt$
Axpgn lo vede come integrale immediato giustamente dato che infatti lo è.
$ dt/dx=1/(2*sqrt(x))$
$dx=2*sqrt(x)*dt$
Axpgn lo vede come integrale immediato giustamente dato che infatti lo è.
Aspettate, non sto capendo, axpgn ha preso la via per ricondursi all'integrale che dà per soluzione il logaritmo, ma non capisco come continua. Poi sembra che tu stia proseguendo là dove si è faermato, ma con la sostituzione. Io invece devo ricondurmi alla forma che ho scritto nel primo post, senza passare per la sostituzione.
E io ti ho dato la risposta che volevi, solo che non ti sforzi MAI di capire quello che ti si dice, neanche quando ti si dà esattamente quello che hai chiesto … 
Perfetto, ora ho capito, grazie tante!
Vorrei chiedere un'altra cosa però: per gli integrali del tipo $int 1/cosx dx$ come si fà a capire cosa fare? C'è una tecnica generale?
Vorrei chiedere un'altra cosa però: per gli integrali del tipo $int 1/cosx dx$ come si fà a capire cosa fare? C'è una tecnica generale?
E allora, se deve stare a numeratore, riscrivilo come ti serve
$ 4int 1/(2sqrtx*(1+sqrt(x)))dx =4int (1/(2sqrtx))/(1+sqrt(x))dx $
$ 4int 1/(2sqrtx*(1+sqrt(x)))dx =4int (1/(2sqrtx))/(1+sqrt(x))dx $
$int(1/cos(x))dx $ devi passare ad espressioni semplificate con le identità goniometriche:
$sen(x)=(2*tg(x/2))/(1+tg^2(x/2))$
[ot]Scusa se ti chiedo una curiosità Zfres ma fino l'altro giorno mi ricordo che postavi limiti e trigonometria e adesso vi siete avventati sugli integrali a scuola?[/ot]
Edit: Correzione di una piccola svista.
$sen(x)=(2*tg(x/2))/(1+tg^2(x/2))$
[ot]Scusa se ti chiedo una curiosità Zfres ma fino l'altro giorno mi ricordo che postavi limiti e trigonometria e adesso vi siete avventati sugli integrali a scuola?[/ot]
Edit: Correzione di una piccola svista.
Innanzitutto studio da autodidatta, ora sto studinado gli integrali ma ogni tanto riprendo qualche esercizio con i limiti. Ma come faccio a ricavarmi quelle espressioni goniometriche e sopratutto come faccio a capire che mi servono proprio quelle?
@Sir
[ot]Lui va oltre, lui non si accontenta di quello che fanno in classe, troppo poco…[/ot]
[ot]Lui va oltre, lui non si accontenta di quello che fanno in classe, troppo poco…[/ot]
@axpgn @Zfres
[ot]Ok... Fa bene. Anche a me piaceva approfondire qualche cosa quando ero a scuola ma poi ho scoperto che approfondire su un libro delle superiori significa sopratutto fare tonnellate di esercizi... cosa che all'università non avviene. Da un lato perché non ce n'è il tempo e dall'altro perché i libri sono organizzati meglio,
anche se pieni zeppi di errori di battitura, risultati sbagliati ecc.
L'unico libro che conosco che presenta un equo numero di esercizi e una teoria di livello è il vecchio Zwirner. Quello con la copertina blu e il trapezoide ABCD in copertina.[/ot]
La dimostrazione delle espressioni goniometriche dovrebbe esserci sul tuo libro di testo. Si chiamano formule parametriche e si possono usare in tutti gli integrali di quel genere. Dove ci sono funzioni goniometriche. Delle volte usarle è un po' dispersivo e usare una sostituzione è meglio.
[ot]Ok... Fa bene. Anche a me piaceva approfondire qualche cosa quando ero a scuola ma poi ho scoperto che approfondire su un libro delle superiori significa sopratutto fare tonnellate di esercizi... cosa che all'università non avviene. Da un lato perché non ce n'è il tempo e dall'altro perché i libri sono organizzati meglio,
anche se pieni zeppi di errori di battitura, risultati sbagliati ecc.
L'unico libro che conosco che presenta un equo numero di esercizi e una teoria di livello è il vecchio Zwirner. Quello con la copertina blu e il trapezoide ABCD in copertina.[/ot]
La dimostrazione delle espressioni goniometriche dovrebbe esserci sul tuo libro di testo. Si chiamano formule parametriche e si possono usare in tutti gli integrali di quel genere. Dove ci sono funzioni goniometriche. Delle volte usarle è un po' dispersivo e usare una sostituzione è meglio.
Ok, ho trovato le dimostrazioni, ma trasformando non cimplicherei le cose? Poi ci sono degli integrali del tipo $int sqrt(1-x^2)dx$ dove si sostituisce il $sinx$ al posto di $x$. Questo come può essere dedotto?
Riguardo al commento tra te e axpgn, il fatto che i libri delle superiori abbiano molti esercizi non è un bene? Perchė dovrebbero preparare lo studente a ragionare in tanti casi. Poi avrei un altro dubbio: quando si sostituisce un pezzo dell'integrale con t, bisogna per forza ricavare la x in funzione di t oppure no?
Riguardo al commento tra te e axpgn, il fatto che i libri delle superiori abbiano molti esercizi non è un bene? Perchė dovrebbero preparare lo studente a ragionare in tanti casi. Poi avrei un altro dubbio: quando si sostituisce un pezzo dell'integrale con t, bisogna per forza ricavare la x in funzione di t oppure no?
$ int(1/cos(x))dx $
$cos(x)=(1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2))$
$I= int(1/cos(x))dx =int[(1+tan^2(x/2))/(1-tan^2(x/2))]dx=$
$t=tan(x/2)$
$dt/dx=1/2*(1+tan^2(x/2))$
$=int[(1+tan^2(x/2))/(1-tan^2(x/2))]dx=2*int[dt/(1-t^2)]=2*int[dt/((1-t)*(1+t))]=2*int[(1/2)/(t+1)-(1/2)/(t-1)]=int(1/(t+1)-1/(t-1))=ln|t+1|-ln|t-1|+c$
$I=ln((tg(x/2)+1)/(tg(x/2)-1))+c$
Per quanto riguarda la seconda la sostituzione serve a dimostrare che:
$intsqrt(a^2-x^2)=1/2*x*sqrt(a^2-x^2)+1/2*a^2*arcsin(x/a)+c$
[ot]Il fatto che i libri delle superiori abbiano tanti esercizi non è un bene perché:
a) Sono troppi.
b) Essendo troppi non vengono svolti tutti e lo studente sceglie quali fare, saltando quelli che gli sembrano noiosi.
c) in classe gli esercizi noiosi invece non vengono fatti perché non c'è il tempo materiale per farli.
Eppure andate volentieri in gita o a fare stage inutili.[/ot]
$cos(x)=(1-tan^2(x/2))/(1+tan^2(x/2))$
$I= int(1/cos(x))dx =int[(1+tan^2(x/2))/(1-tan^2(x/2))]dx=$
$t=tan(x/2)$
$dt/dx=1/2*(1+tan^2(x/2))$
$=int[(1+tan^2(x/2))/(1-tan^2(x/2))]dx=2*int[dt/(1-t^2)]=2*int[dt/((1-t)*(1+t))]=2*int[(1/2)/(t+1)-(1/2)/(t-1)]=int(1/(t+1)-1/(t-1))=ln|t+1|-ln|t-1|+c$
$I=ln((tg(x/2)+1)/(tg(x/2)-1))+c$
Per quanto riguarda la seconda la sostituzione serve a dimostrare che:
$intsqrt(a^2-x^2)=1/2*x*sqrt(a^2-x^2)+1/2*a^2*arcsin(x/a)+c$
[ot]Il fatto che i libri delle superiori abbiano tanti esercizi non è un bene perché:
a) Sono troppi.
b) Essendo troppi non vengono svolti tutti e lo studente sceglie quali fare, saltando quelli che gli sembrano noiosi.
c) in classe gli esercizi noiosi invece non vengono fatti perché non c'è il tempo materiale per farli.
Eppure andate volentieri in gita o a fare stage inutili.[/ot]
Grazie per i passaggi, alla fine si tratta di uare le formule parametriche senza mettere in vista $tan(x/2)$. Comunque quell'integrale si potrebbe anche risolvere senza sostituire il seno, vero? Avrei una domanda da fare: se ho una radice del tipo $sqrt(2+sqrt(2))$, invece di utilizzare la formula per i radicali doppi, potrei scrivere il $2+sqrt(2)$ diversamente in modo da ottenere un quadrato di binomio?
No gli integrali del tipo $int[sqrt(a^2-x^2)]dx$ vanno risolti con la sostituzione $x=sen(t)$ o con la formula.
Quello lì non penso sia un quadrato di binomio.
Quello lì non penso sia un quadrato di binomio.
Con quale formula? Comunque chiedevo se quel $2+sqrt(2)$ si potesse ricondurre ad un quadrato di binomio attraverso qualche manipolazione algebrica.
"SirDanielFortesque":
Per quanto riguarda la seconda la sostituzione serve a dimostrare che:
$ intsqrt(a^2-x^2)=1/2*x*sqrt(a^2-x^2)+1/2*a^2*arcsin(x/a)+c $
"SirDanielFortesque":
Quello lì non penso sia un quadrato di binomio.
Ok ho capito, grazie tante per l'aiuto e i consigli!
Scusa se riprendo ancora il thread con questo: $int 1/(sqrt(x)+xsqrt(x))dx$. Per sositituzione sarebbe immediato, ma devo risolverlo diversamente, quindi ho pensato così: $int 1/(sqrt(x)(1+x))dx$ poi ho pensato di riscriverla così:
$2int 1/2(sqrt(x)(1+sqrt(x)^2))dx $ e quindi ottenendo $acrtg(1+sqrt(x))+c$.
Vorrei chiedere se esiste un'altro modo per risolverlo sempre riconducendosi alla forma dell'integrale generalizzato.
Poi avrei quest'altro dubbio: se ho un integrale del tipo. $int 1/(1+2sqrt(x))dx$ e volendolo risolvere per sostituzione pongo $1+2sqrt(x)=t$. Il dubbio stà qui: devo derivare questo rispetto a x e poi sostituirlo nell'integrale oppure devo ricavare $x$ in funzione di $t$, in questo caso: $x=1/4(t-1)^2$ e poi derivare e sostituire al posto di $dx$. Che metodo bisogna utilizzare?
$2int 1/2(sqrt(x)(1+sqrt(x)^2))dx $ e quindi ottenendo $acrtg(1+sqrt(x))+c$.
Vorrei chiedere se esiste un'altro modo per risolverlo sempre riconducendosi alla forma dell'integrale generalizzato.
Poi avrei quest'altro dubbio: se ho un integrale del tipo. $int 1/(1+2sqrt(x))dx$ e volendolo risolvere per sostituzione pongo $1+2sqrt(x)=t$. Il dubbio stà qui: devo derivare questo rispetto a x e poi sostituirlo nell'integrale oppure devo ricavare $x$ in funzione di $t$, in questo caso: $x=1/4(t-1)^2$ e poi derivare e sostituire al posto di $dx$. Che metodo bisogna utilizzare?
"ZfreS":
Per sositituzione sarebbe immediato
A livello di tecniche risolutive c'è una bella differenza tra integrali immediati e integrali per sostituzione.
A livello di teoria meno. Ma per il momento è meglio non fare confusione.
Assodato ciò...
Questo:
$ int 1/(sqrt(x)+xsqrt(x))dx $
è per l'occhio attento un integrale immediato, altrimenti occorre effettuare la sostituzione $t=sqrt(x)$
Inizialmente la sostituzione sembra un metodo difficile, ma in realtà è molto meccanico.
L'integrale per sostituzione si basa sul teorema di derivazione della funzione composta per cui:
$int[f'(g(x))*g'(x)]dx=f(g(x))+c$
Questo integrale è il tipico esempio di integrale per sostituzione:
$ int 1/(1+2sqrt(x))dx $
$t=2*sqrt(x)+1$
dove però calcolare $dt/dx$ sarebbe dispersivo. Meglio calcolare $dx/dt$.
infatti hai, sulla base della sostituzione fatta:
$x=(t/2-1/2)^2$
$dx/dt=2*1/2*(t/2-1/2)=t/2-1/2=1/2*(t-1)$
$dx=1/2*(t-1)dt$
$ int 1/(1+2sqrt(x))dx =int1/t*(1/2)*(t-1)dt=1/2*int(1-1/t)=1/2*[t-ln|t|]+c=$
$=1/2*[2*sqrt(x)+1-ln|2sqrt(x)+1|]+c$
[ot]Tutti questi metodi vengono normalmente trattati con sistematicità. Ogni metodo risolutivo si applica a fattispecie diverse di esercizi e quindi se salti da un tipo all'altro non ne esci. Purtroppo devi fare esercizi su ciascun tipo di problema e, solo alla fine, avrai una visione leggermente più generale. Dico leggermente perché ci sarà sempre un integrale che ti mette in difficoltà. Gran parte di questa sistematicità viene meno nelle scuole superiori, alcune tipologie non vengono trattate e si salta alcune parti, dato che tanto poi vengono riprese all'università. Io personalmente ricordo di aver imparato il metodo di sostituzione sul testo del Piskunov, dove secondo me quella parte è completa e fatta bene mentre in genere viene dato per scontato ma scontato non è.[/ot]
Perfetto, grazie tante per il chiarimento! In effetti noto che a livello di superiori gli integrali risultano più semplici dei limiti, ma a livello universitario probabilmente no, potresti dirmi le parti di programma sugli integrali che viene saltata così completo.
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