Difficoltà con due integrali

[C.Falcon]

Salve a tutti, esercitandomi sugli integrali ne ho incontrati due un po' ostici. Più che altro so quale sia il metodo da utilizzare, ma il risultato non coincide con quello del libro.

Il primo è: $ int2e^(x-1)+ex^(e-1) dx $

Lo scompongo nella somma di due integrali e il secondo integrale viene $ eint x^(e-1) dx $
Affermando che e sia un numero, e quindi una costante, il risultato dell'integrale mi viene $ ex^e $ però il libro dice che è solamente $ x^e $
Perché? "e" è un numero o la derivata di $ x^e $ ?

Il secondo è: $ int (2x^3 +1) sqrt(x^4 +2x) dx $

Io moltiplico l'integrando per 2 e fuori l'integrale lo moltiplico per 1/2. Così dentro mi viene f(x) alla 1/2 per f'(x)
e quindi il risultato dovrebbe essere $ 1/2sqrt(x^4 +2x) (x^4 +2x) $ eppure il risultato del libro dice che è $ 1/3sqrt(x^4 +2x) (x^4 +2x) $
Come mai? Un chiarimento?

[anto_zoolander]

Il primo:

$int2e^(x-1)+ex^(e-1)dx$

$int2e^(x-1)dx+intex^(e-1)dx$

$2e^(x-1)+(ex^((e-1)+1))/((e-1)+1)+c => 2e^(x-1)+(ex^e)/e+c$

quindi alla fine ottieni: $2e^(x-1)+x^e+c$

Il secondo:

$int(2x^3+1)sqrt(x^4+2x)dx$

$1/2int(4x^3+2)sqrt(x^4+2x)dx$

$(x^4+2x)^(1/2+1)/(2(1/2+1))+c => (x^4+2x)^(3/2)/(2*3/2)+c$

$(x^4+2x)^(3/2)/3+c => 1/3|x^4+2x|sqrt(x^4+2x)+c$

ma considerando che la quantità dentro il modulo è sempre positiva nel dominio di questa funzione, a causa della sua compaesana dentro la radice, allora: $|x^4+2x|=(x^4+2x), forallx indom_(f(x))$ quindi alla fine..

$1/3(x^4+2x)sqrt(x^4+2x)+c$

forse fai un po' di confusione sull'integrazione di questo tipo di funzione. Ti riporto un caso generale:

$kintf'(x)*f(x)^alphadx, alphane-1$

$k*f(x)^(alpha+1)/(alpha+1)$ infatti se derivi..

$d/dx(k*f(x)^(alpha+1)/(alpha+1)) = k*((alpha+1)f(x)^alpha)/(alpha+1)*f'(x) = k*f'(x)f(x)^alpha$

Se hai bisogno di chiarimenti sui passaggi, chiedi.

[C.Falcon]

No ho capito tutto, grazie mille!