Differenza tra "e" ed "o": quando si usa uno e quando l'altro?
A volte quando risolvo una disequazione mi viene da scrivere "e" invece del classico "vel" che indica "o". Se penso all'italiano ci starebbe bene sia la "o" che la "e" ma forse più la "e". Se penso a: "vuoi la polenta O la pasta?" sembra che non posso avere entrambe le cose mentre ritornando alla disequazione io desidero entrambi gli intervalli. Insomma vorrei che mi spiegaste il metodo che usate voi per capire quando usare "e" oppure "o", possibilmente senza pensare all'italiano che proprio non mi aiuta. Ovviamente mi interessa capire il concetto non solo per le disequazioni ma anche per tutto il resto.
Grazie
Grazie
Risposte
Facciamola più semplice, equazioni anzichè disequazioni.
Se hai $x^2-1=0$ le soluzioni sono $x = 1$ E $x = -1$.
Però puoi dire in altro modo: perchè sia $x^2-1 = 0$ occorre (e basta) che $x$ valga $1$ OPPURE $-1$.
E' chiaro che non avrebbe senso dire : occorre che $x$ valga $1$ E $2$, visto che $x$ non può avere contemporaneamente due valori diversi.
Sono scritture differenti, ma significano la stessa cosa.
E, beninteso, non voglio dire che E e OPPURE siano la stessa cosa.
Se hai $x^2-1=0$ le soluzioni sono $x = 1$ E $x = -1$.
Però puoi dire in altro modo: perchè sia $x^2-1 = 0$ occorre (e basta) che $x$ valga $1$ OPPURE $-1$.
E' chiaro che non avrebbe senso dire : occorre che $x$ valga $1$ E $2$, visto che $x$ non può avere contemporaneamente due valori diversi.
Sono scritture differenti, ma significano la stessa cosa.
E, beninteso, non voglio dire che E e OPPURE siano la stessa cosa.
Il problema è che la lingua italiana è ambigua. Ed è normale che ti porta a confusione in questi casi, infatti la "o" in italiano si traduce con due "o".
- In logica la "e" con il simbolo \( \wedge \) corrisponde al significato d'insieme di "intersezione" con simbolo \( \cap \)
- In logica la "o" inclusiva sovente scritta con "e/o" e con il simbolo \( \vee \) corrisponde al significato d'insieme di "unione" con simbolo \( \cup \).
- In logica la "o" esclusiva sovente scritta con "e/o" e con il simbolo \( \dot{\lor} \) corrisponde al significato d'insieme di differenza simmetrica (con simbolo \( \Delta \)).
Per capire cosa ci va, devi capire cosa ti interessa. Se tramuti in insiemi quello che ti interessa, diciamo che hai due proprietà \(P\), \(Q\) che possono essere qualunque cosa, disequazioni, eventi di probabilità, etc...
- Supponi \(P\) ha come "soluzione" un insieme \(A\).
- Supponi \(Q\) ha come "soluzione" un insieme \(B\).
Se fai dei diagrammi di Venn ti apparirà chiaro quanto segue, in particolare perché la "o" inclusiva (che include cosa in fin dei conti?) si dice anche "e/o", perché include anche l'intersezione. Mentre la "o" esclusiva, esclude i casi d'intersezione.
- Allora \( A \cap B \) corrisponde alla proprietà \(P \text{ e } Q \), in simboli \( P \wedge Q \)
- Allora \( A \cup B \) corrisponde alla proprietà \(P \text{ e/o } Q \), in simboli \( P \vee Q \)
- Allora \( A \Delta B = (A \cup B ) - (A \cap B)\) corrisponde alla proprietà \( P \dot{\lor} Q \)
Prendi come esempio lanciare un dado normale, \(P\) proprietà escono i numeri pari, \(A = \{ 2,4,6 \} \). \(Q\) proprietà escono i numeri più piccoli di 3, quindi \( B = \{ 1,2,3\} \).
- La proprietà \( P \text{ e } Q \), numeri pari e più piccoli di 3, fai l'intersezione tra \(A\) e \(B\) e ottieni \( A \cap B =\{2\} \).
- La proprietà \( P \text{ e/o } Q \), numeri pari e/o più piccoli di 3, fai l'unione tra \(A\) e \(B\) e ti vanno bene anche quelli in comune! ottieni \( A \cup B =\{1,2,3,4,6\} \).
- La proprietà \( P \dot{\lor} Q \), numeri pari oppure esclusivamente più piccoli di 3, fai l'unione tra \(A\) e \(B\) ma quelli in comune non ti vanno bene, vuoi che sia pari e/o che sia più piccolo di 3 ma non pari e più piccolo di 3! ottieni \( A \Delta B =\{1,3,4,6\} \).
- In logica la "e" con il simbolo \( \wedge \) corrisponde al significato d'insieme di "intersezione" con simbolo \( \cap \)
- In logica la "o" inclusiva sovente scritta con "e/o" e con il simbolo \( \vee \) corrisponde al significato d'insieme di "unione" con simbolo \( \cup \).
- In logica la "o" esclusiva sovente scritta con "e/o" e con il simbolo \( \dot{\lor} \) corrisponde al significato d'insieme di differenza simmetrica (con simbolo \( \Delta \)).
Per capire cosa ci va, devi capire cosa ti interessa. Se tramuti in insiemi quello che ti interessa, diciamo che hai due proprietà \(P\), \(Q\) che possono essere qualunque cosa, disequazioni, eventi di probabilità, etc...
- Supponi \(P\) ha come "soluzione" un insieme \(A\).
- Supponi \(Q\) ha come "soluzione" un insieme \(B\).
Se fai dei diagrammi di Venn ti apparirà chiaro quanto segue, in particolare perché la "o" inclusiva (che include cosa in fin dei conti?) si dice anche "e/o", perché include anche l'intersezione. Mentre la "o" esclusiva, esclude i casi d'intersezione.
- Allora \( A \cap B \) corrisponde alla proprietà \(P \text{ e } Q \), in simboli \( P \wedge Q \)
- Allora \( A \cup B \) corrisponde alla proprietà \(P \text{ e/o } Q \), in simboli \( P \vee Q \)
- Allora \( A \Delta B = (A \cup B ) - (A \cap B)\) corrisponde alla proprietà \( P \dot{\lor} Q \)
Prendi come esempio lanciare un dado normale, \(P\) proprietà escono i numeri pari, \(A = \{ 2,4,6 \} \). \(Q\) proprietà escono i numeri più piccoli di 3, quindi \( B = \{ 1,2,3\} \).
- La proprietà \( P \text{ e } Q \), numeri pari e più piccoli di 3, fai l'intersezione tra \(A\) e \(B\) e ottieni \( A \cap B =\{2\} \).
- La proprietà \( P \text{ e/o } Q \), numeri pari e/o più piccoli di 3, fai l'unione tra \(A\) e \(B\) e ti vanno bene anche quelli in comune! ottieni \( A \cup B =\{1,2,3,4,6\} \).
- La proprietà \( P \dot{\lor} Q \), numeri pari oppure esclusivamente più piccoli di 3, fai l'unione tra \(A\) e \(B\) ma quelli in comune non ti vanno bene, vuoi che sia pari e/o che sia più piccolo di 3 ma non pari e più piccolo di 3! ottieni \( A \Delta B =\{1,3,4,6\} \).
"3m0o":
Il problema è che la lingua italiana è ambigua.
Il problema è che le lingue sono ambigue, non solo l'italiano
Il linguaggio naturale è ambiguo, ed è normale (e pure giusto) che sia così.
Sono i linguaggi formali che non dovrebbero esserlo ma anch'essi non sono perfetti, non foss'altro perché son definiti usando il linguaggio naturale
Cordialmente, Alex
"3m0o":
Il problema è che la lingua italiana è ambigua. Ed è normale che ti porta a confusione in questi casi, infatti la "o" in italiano si traduce con due "o".
- In logica la "e" con il simbolo \( \wedge \) corrisponde al significato d'insieme di "intersezione" con simbolo \( \cap \)
- In logica la "o" inclusiva sovente scritta con "e/o" e con il simbolo \( \vee \) corrisponde al significato d'insieme di "unione" con simbolo \( \cup \).
- In logica la "o" esclusiva sovente scritta con "e/o" e con il simbolo \( \dot{\lor} \) corrisponde al significato d'insieme di differenza simmetrica (con simbolo \( \Delta \)).
Per capire cosa ci va, devi capire cosa ti interessa. Se tramuti in insiemi quello che ti interessa, diciamo che hai due proprietà \(P\), \(Q\) che possono essere qualunque cosa, disequazioni, eventi di probabilità, etc...
- Supponi \(P\) ha come "soluzione" un insieme \(A\).
- Supponi \(Q\) ha come "soluzione" un insieme \(B\).
Se fai dei diagrammi di Venn ti apparirà chiaro quanto segue, in particolare perché la "o" inclusiva (che include cosa in fin dei conti?) si dice anche "e/o", perché include anche l'intersezione. Mentre la "o" esclusiva, esclude i casi d'intersezione.
- Allora \( A \cap B \) corrisponde alla proprietà \(P \text{ e } Q \), in simboli \( P \wedge Q \)
- Allora \( A \cup B \) corrisponde alla proprietà \(P \text{ e/o } Q \), in simboli \( P \vee Q \)
- Allora \( A \Delta B = (A \cup B ) - (A \cap B)\) corrisponde alla proprietà \( P \dot{\lor} Q \)
Prendi come esempio lanciare un dado normale, \(P\) proprietà escono i numeri pari, \(A = \{ 2,4,6 \} \). \(Q\) proprietà escono i numeri più piccoli di 3, quindi \( B = \{ 1,2,3\} \).
- La proprietà \( P \text{ e } Q \), numeri pari e più piccoli di 3, fai l'intersezione tra \(A\) e \(B\) e ottieni \( A \cap B =\{2\} \).
- La proprietà \( P \text{ e/o } Q \), numeri pari e/o più piccoli di 3, fai l'unione tra \(A\) e \(B\) e ti vanno bene anche quelli in comune! ottieni \( A \cup B =\{1,2,3,4,6\} \).
- La proprietà \( P \dot{\lor} Q \), numeri pari oppure esclusivamente più piccoli di 3, fai l'unione tra \(A\) e \(B\) ma quelli in comune non ti vanno bene, vuoi che sia pari e/o che sia più piccolo di 3 ma non pari e più piccolo di 3! ottieni \( A \Delta B =\{1,3,4,6\} \).
Data la precisione e chiarezza della risposta dire che sei stato chiaro e preciso è dire poco. Grazie infinite!
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