Differenza tra eq. indeterminate ed identità/Goniometria
Quale è la differenza tra eq. indeterminata e identità?
Mercoledì ho un compito sulla goniometria, molto facile, non abbiamo fatto neanche la tangente =D. Sono un pò preoccupato per le identità goniometriche, avere l' 'intuizione' dipende anche dal 'caso'. Se non avessi l'intuizione, la mia idea in algebra sarebbe prendere il grado N della eq., sostituire N+1 valori diversi all'incognita e dimostrare che l'eq. non è determinata. Potrebbe essere una cavolata, non l'ho mai fatto vedere a dei prof. questo metodo, ma penso sia corretto per il teorema fondamentale dell'algebra. Esiste qualche trucco simile con la goniometria? Inoltre, se in una eq. goniometrica il seno appare al denominatore, facendo perdere significato all'eq. per i valori 0 e $pi$ nell'intervallo $[0,2pi)$, l'eq. rimane rimane una identità? Non è verificata per ogni valore di R, anche se lo è per infiniti.
Infine volevo condividere un trucchetto: se si ha il seno per trovare il valore numerico del coseno basta porre lo stesso denominatore e mettere come numenatore la differenza tra il quadrato del denominatore del seno e il quadrato del numeratore del seno, mettendo questo numeratore trovato: è velocissimo, anche se magari non è che un'intuizione ingenua.
Es. $sen x= 7/8 => |cos x|= sqrt(64-49)/8$
Mercoledì ho un compito sulla goniometria, molto facile, non abbiamo fatto neanche la tangente =D. Sono un pò preoccupato per le identità goniometriche, avere l' 'intuizione' dipende anche dal 'caso'. Se non avessi l'intuizione, la mia idea in algebra sarebbe prendere il grado N della eq., sostituire N+1 valori diversi all'incognita e dimostrare che l'eq. non è determinata. Potrebbe essere una cavolata, non l'ho mai fatto vedere a dei prof. questo metodo, ma penso sia corretto per il teorema fondamentale dell'algebra. Esiste qualche trucco simile con la goniometria? Inoltre, se in una eq. goniometrica il seno appare al denominatore, facendo perdere significato all'eq. per i valori 0 e $pi$ nell'intervallo $[0,2pi)$, l'eq. rimane rimane una identità? Non è verificata per ogni valore di R, anche se lo è per infiniti.
Infine volevo condividere un trucchetto: se si ha il seno per trovare il valore numerico del coseno basta porre lo stesso denominatore e mettere come numenatore la differenza tra il quadrato del denominatore del seno e il quadrato del numeratore del seno, mettendo questo numeratore trovato: è velocissimo, anche se magari non è che un'intuizione ingenua.
Es. $sen x= 7/8 => |cos x|= sqrt(64-49)/8$
Risposte
premetto che dubito che il compito ti andrà male, visto che dimostri una buona padronanza dei concetti fondamentali.
Per quanto riguarda il primo punto (che non mi è molto chiaro) ti posso solo dire che un compito che comprende delle identità goniometriche ha come obiettivo quello di verificare non solo se sai come si risolve un'identità, ma anche, in questo caso, se hai chiari i concetti fondamentali della goniometria, quindi cerca di evidenziare soprattutto le tue conoscenze in questo ambito
Per i denominatori : vanno sempre discussi e posti diversi da zero, in modo da trovare i valori per i quali l'identità perde di significato (ma è valida per tutti gli altri)
Ultima cosa : certo che va bene, in quanto si tratta di applicare il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo in cui il denominatore è proporzionale all'ipotenusa ed i due numeratori ai due cateti (es : se hai $senx= 3/5$, sarà ovviamente $cosx=+-4/5$, in quanto ci troviamo di fronte alla terna pitagorica fondamentale)
Per quanto riguarda il primo punto (che non mi è molto chiaro) ti posso solo dire che un compito che comprende delle identità goniometriche ha come obiettivo quello di verificare non solo se sai come si risolve un'identità, ma anche, in questo caso, se hai chiari i concetti fondamentali della goniometria, quindi cerca di evidenziare soprattutto le tue conoscenze in questo ambito
Per i denominatori : vanno sempre discussi e posti diversi da zero, in modo da trovare i valori per i quali l'identità perde di significato (ma è valida per tutti gli altri)
Ultima cosa : certo che va bene, in quanto si tratta di applicare il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo in cui il denominatore è proporzionale all'ipotenusa ed i due numeratori ai due cateti (es : se hai $senx= 3/5$, sarà ovviamente $cosx=+-4/5$, in quanto ci troviamo di fronte alla terna pitagorica fondamentale)
Grazie per gli apprezzamenti, ma non li merito ;D.
Se devo verificare che una eq. algebrica di quarto grado non è determinata (prendendone una non impossibile ovviamente), se non riesco ad arrivare alla forma $0=0$ oppure $x=x$ o quello che si voglia (magari perché dovrei fare dei raccoglimenti che non 'intuisco'), mi basta prendere 5 numeri in R a caso, e vedere se soddisfano l'equazione. Se l'equazione fosse determinata, potrebbe avere al massimo 4 soluzioni (teorema fondamentale dell'algebra), ma se 5 valori la soddisfano vuol dire che non è determinata e quindi è indeterminata.
Di conseguenza, vorrei sapere se qualcosa di simile funziona anche con la goniometria.
Se una equazione goniometrica in una incognita è soddisfatta per due valori è una identità?
Inoltre forse non hai fatto caso al primo rigo, vorrei sapere la differenza tra una identità e una eq. indeterminata.
Inoltre, se una equazione è valida per tutti i valori di $R-G$, dove $G={x : x € R$ e toglie significato all'eq.$}; |G|>=1$ è una identità o non lo è, dato che alcuni valori (quelli di G) non soddisfano l'eq., l'eq è una identità, è indeterminata, o determinata o cos'altro?
Se devo verificare che una eq. algebrica di quarto grado non è determinata (prendendone una non impossibile ovviamente), se non riesco ad arrivare alla forma $0=0$ oppure $x=x$ o quello che si voglia (magari perché dovrei fare dei raccoglimenti che non 'intuisco'), mi basta prendere 5 numeri in R a caso, e vedere se soddisfano l'equazione. Se l'equazione fosse determinata, potrebbe avere al massimo 4 soluzioni (teorema fondamentale dell'algebra), ma se 5 valori la soddisfano vuol dire che non è determinata e quindi è indeterminata.
Di conseguenza, vorrei sapere se qualcosa di simile funziona anche con la goniometria.
Se una equazione goniometrica in una incognita è soddisfatta per due valori è una identità?
Inoltre forse non hai fatto caso al primo rigo, vorrei sapere la differenza tra una identità e una eq. indeterminata.
Inoltre, se una equazione è valida per tutti i valori di $R-G$, dove $G={x : x € R$ e toglie significato all'eq.$}; |G|>=1$ è una identità o non lo è, dato che alcuni valori (quelli di G) non soddisfano l'eq., l'eq è una identità, è indeterminata, o determinata o cos'altro?
Per quanto riguarda il primo punto, ti posso solo ripetere che ritengo corretta solo la soluzione di un'identità che comporti un procedimento basato sulla conoscenza dei concetti della goniometria, e non sulla semplice sostituzione di valori numerici. Se però tu vuoi sapere se, indipendentemente da come va risolta l'identità, comunque il teorema fondamentale dell'algebra valga anche per le equazioni goniometriche, ti rispondo semplicemente che un'equazione è sempre un'equazione, qualunque sia il suo tipo (goniometrica, esponenziale, logaritmica,..) e che le regole base devono necessariamente essere sempre le stesse (ad esempio, non è che i principi d'equivalenza cambiano quando si tratta di un'equazione goniometrica)
Seconda risposta : in effetti un'equazione indeterminata è un'identità, ma non vale necessariamente il contrario, infatti se ti viene data a priori un'identità e ti si chiede di verificarla, questa verifica non va fatta utilizzando i principi d'equivalenza delle equazioni, ma ogni membro va trattato separatamente, finchè non si ottiene la stessa espressione
ultima cosa :premesso che non capisco perchè debba essere $|G|>=1$ , dove G (se ho interpretato bene) è l'insieme dei valori che annullano i denominatori; in questo caso $R-G$ è l'insieme di definizione dell'equazione data, e per tutti i valori di $G$ l'equazione è impossibile
Seconda risposta : in effetti un'equazione indeterminata è un'identità, ma non vale necessariamente il contrario, infatti se ti viene data a priori un'identità e ti si chiede di verificarla, questa verifica non va fatta utilizzando i principi d'equivalenza delle equazioni, ma ogni membro va trattato separatamente, finchè non si ottiene la stessa espressione
ultima cosa :premesso che non capisco perchè debba essere $|G|>=1$ , dove G (se ho interpretato bene) è l'insieme dei valori che annullano i denominatori; in questo caso $R-G$ è l'insieme di definizione dell'equazione data, e per tutti i valori di $G$ l'equazione è impossibile
Ti ringrazio molto.
prego! 
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