Differenza di potenziale di una sfera

[drcave]

Salve devo calcolare la differenza di potenziale tra il il centro e la superficie di una sfera di raggio R la cui densità volumetrica varia con il raggio con

[math]\rho=\rho_0 \frac {r}{R}[/math]

Io ho pensato che la carica totale è:

[math]Q=\int_{0}^{R} \frac {\rho_0 r}{R} 4\pi r^2\, dx=\pi \rho_0 R^3[/math]

che almeno dimensionalmente è una carica... ottenuta sommando tutte le cariche sulle sfere concentriche con raggio da 0 a R.

[math] dq=\pi\rho_0 r^3 dr[/math]

Il potenziale è:

[math]\Delta V= \int_{0}^{R} \frac {k_e\pi\rho_0 r^3}{r}, dr=\frac{k_e\pi\rho_0 R^3}{3}[/math]

solo che dimensionalmente non m sembra un potenziale...dove sbaglio?

[Cherubino]

Sbagli nel passare dalla carica totale alla carica locale (mi sembra che tu sostituisca R con r e metti davanti il differenziale... non si fa così, infatti se guardi il tuo dq non è dimensionalmente a posto).

In ogni caso la tua soluzione non mi sembra corretta.
Perché non usi il teorema di Gauss?

Com'è il campo elettrico (o il potenziale elettrico) all'esterno di un corpo con distribuzione di carica a simmetria sferica?

[drcave]

il campo all'esterno è:

Per una sfera carica in superficie:

[math] E= \frac {q}{\epsilon 4\pi R^2}= \frac {k_e q}{R^2}[/math]

[math]V= \frac {k_e q}{R}[/math]

Ma all'interno? E la densità variabile?
(scusa del disturbo, ma dai libri su cui studio non trovo cose del genere)

[Cherubino]

All'interno te lo devi calcolare te ;)

Visto che la distribuzione è sferica puoi usare facilmente il Teo di Gauss per fare i conti:
il flusso del campo elettrico su una superficie è la carica totale racchiusa nel volume della superficie, su

[math] \epsilon_0[/math]

...

una volta trovato il campo elettrico....

[math] \Delta V = - \int \vec E \cdot d\vec l[/math]

[Però a dire il vero puoi anche scrivere il risultato senza fare questi conti... ]