Determinare l'equazione di un'ellisse
Salve a tutti,
ecco l'esercizio il cui procedimento non mi appare limpido (per usare un eufemismo
):
"Scrivi l'equazione dell'ellisse che nel suo punto di coordinate $(1 ; 2/3 sqrt(2) )$ ha per tangente la retta di equazione $x+6sqrt(2)y-9=0$ .
Ammetto di aver pensato di risolvere il tutto sfruttando il fatto che il discriminante dev'essere, per la condizione di tangenza, uguale a zero ( $b^2-4ac=0$ ), tuttavia non riesco a trovare i coefficienti $a$ e $b$ relativi all'equazione dell'ellisse $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ .
In definitiva, come posso risolvere quest'esercizio? Esistono procedimenti "migliori" o più semplici?
(Magari è superfluo, ma posto comunque il risultato che il testo dà: $x^2/9 + y^2=1$).
Grazie anticipatamente.
ecco l'esercizio il cui procedimento non mi appare limpido (per usare un eufemismo
):"Scrivi l'equazione dell'ellisse che nel suo punto di coordinate $(1 ; 2/3 sqrt(2) )$ ha per tangente la retta di equazione $x+6sqrt(2)y-9=0$ .
Ammetto di aver pensato di risolvere il tutto sfruttando il fatto che il discriminante dev'essere, per la condizione di tangenza, uguale a zero ( $b^2-4ac=0$ ), tuttavia non riesco a trovare i coefficienti $a$ e $b$ relativi all'equazione dell'ellisse $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ .
In definitiva, come posso risolvere quest'esercizio? Esistono procedimenti "migliori" o più semplici?
(Magari è superfluo, ma posto comunque il risultato che il testo dà: $x^2/9 + y^2=1$).
Grazie anticipatamente.
Risposte
"TR0COMI":
...
In definitiva, come posso risolvere quest'esercizio? Esistono procedimenti "migliori" o più semplici?
...
Il metodo più semplice è sicuramente usare la formula di sdoppiamento.
D'accordo, MaMo, e grazie mille dell'intervento...
ma i termini da inserire al posto di $x*x_0/a^2+y*y_0/b^2 =1$? Mi spiego meglio: la formula di sdoppiamento in genere sono abituato a utilizzarla per trovare la retta tangente all'ellisse in un suo punto dato... in questo caso devo trovare l'ellisse tangente alla retta in tale punto.
Potresti essere più chiaro, per favore?
ma i termini da inserire al posto di $x*x_0/a^2+y*y_0/b^2 =1$? Mi spiego meglio: la formula di sdoppiamento in genere sono abituato a utilizzarla per trovare la retta tangente all'ellisse in un suo punto dato... in questo caso devo trovare l'ellisse tangente alla retta in tale punto.
Potresti essere più chiaro, per favore?
Basta esplicitare entrambe le rette e uguagliare m e q:
$x*x_0/a^2+y*y_0/b^2 =1=> y= -(b^2 x_0 )/(a^2 y_0)x+b^2/y_0$ e
$x+6sqrt2 y-9=0 =>y=-1/(6sqrt2)x+3/(2sqrt2)$
$\{(-(b^2 x_0 )/(a^2 y_0)=-1/(6sqrt2)),(b^2/y_0= 3/(2sqrt2)):}$
$x*x_0/a^2+y*y_0/b^2 =1=> y= -(b^2 x_0 )/(a^2 y_0)x+b^2/y_0$ e
$x+6sqrt2 y-9=0 =>y=-1/(6sqrt2)x+3/(2sqrt2)$
$\{(-(b^2 x_0 )/(a^2 y_0)=-1/(6sqrt2)),(b^2/y_0= 3/(2sqrt2)):}$
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