Determinare interi, noti prodotto e somma
Raga, son sicuro che sono facilissimi ma, senza passare per le equazioni, come si risolvono esercizi di questo tipo:
Trova due numeri interi che hanno prodotto —12 e somma —4.
Determina due numeri interi che hanno prodotto +36 e somma —20.
Ne ho messi 2 ma basta che mi aiutate sul primo, poi sono tutti uguali. Ripeto, è il capitolo relativo agli interi, quindi niente equazioni.
Ho l'impressione che bisogna ragionare su multipli, divisori, MCD, mcm ma non capisco come impostare il ragionamento.
Trova due numeri interi che hanno prodotto —12 e somma —4.
Determina due numeri interi che hanno prodotto +36 e somma —20.
Ne ho messi 2 ma basta che mi aiutate sul primo, poi sono tutti uguali. Ripeto, è il capitolo relativo agli interi, quindi niente equazioni.
Ho l'impressione che bisogna ragionare su multipli, divisori, MCD, mcm ma non capisco come impostare il ragionamento.
Risposte
È semplice, scomponi in due fattori il prodotto e tieni la coppia che ti dà la somma.
Esempio: $-12=-1*12=-2*6=-3*4=-4*3=-6*2=-12*1$
L'unica coppia che ti dà $-4$ è $-6*2$
Esempio: $-12=-1*12=-2*6=-3*4=-4*3=-6*2=-12*1$
L'unica coppia che ti dà $-4$ è $-6*2$
Con \(\displaystyle 36 \) però è più complicato, dovrei scrivere:
In fattori primi: \(\displaystyle 36 = 2^2 \cdot 3^2 \). Quindi \(\displaystyle +36 = +4 \cdot +9 = -4 \cdot -9 = +2 \cdot +18 = -2 \cdot -18 = +12 \cdot +3 = -12 \cdot -3 = +6 \cdot +6 = -6 \cdot -6 \)
Se la somma deve fare \(\displaystyle - 20 \), allora l'unica possibilità è che i due numeri sono \(\displaystyle -2 \) e \(\displaystyle -18 \).
Con numeri grandi, diventa piuttosto impegnativo però
In fattori primi: \(\displaystyle 36 = 2^2 \cdot 3^2 \). Quindi \(\displaystyle +36 = +4 \cdot +9 = -4 \cdot -9 = +2 \cdot +18 = -2 \cdot -18 = +12 \cdot +3 = -12 \cdot -3 = +6 \cdot +6 = -6 \cdot -6 \)
Se la somma deve fare \(\displaystyle - 20 \), allora l'unica possibilità è che i due numeri sono \(\displaystyle -2 \) e \(\displaystyle -18 \).
Con numeri grandi, diventa piuttosto impegnativo però
A dir la verità con $36$ è più facile 
… e a meno che non siano numeri molto grandi, non ci metti più di mezzo minuto … 
… e a meno che non siano numeri molto grandi, non ci metti più di mezzo minuto …
Ok, grazie, vediamo se qualcuno vuole aggiungere qualcosa.
Ne stavo vedendo ancora qualcuno e... caspita! Questi esercizi sono tutt'altro che banali:
Se il prodotto di due numeri a e b è —24, calcola quanto vale il prodotto:
a. del triplo di a per l’opposto di b;
b. dell’opposto di a con il doppio dell’opposto di b.
Questo l'ho risolto così: \(\displaystyle a \cdot b = -24 \), il triplo di a, cioè moltiplico entrambi i membri per 3: \(\displaystyle 3 \cdot a \cdot b = -24 \cdot 3 \), l'opposto di -b, cioè moltiplico entrambi membri per -1: \(\displaystyle 3 \cdot a \cdot b \cdot -1 = -24 \cdot 3 \cdot -1 \), allora ottengo \(\displaystyle (3a) \cdot (-b) = +72 \).
Ora, però, non so se in prima superiore (max seconda superiore) bisognerebbe ragionare così. Riuscite a vedere un metodo più semplice di quello a cui ho pensato?
Ne stavo vedendo ancora qualcuno e... caspita! Questi esercizi sono tutt'altro che banali:
Se il prodotto di due numeri a e b è —24, calcola quanto vale il prodotto:
a. del triplo di a per l’opposto di b;
b. dell’opposto di a con il doppio dell’opposto di b.
Questo l'ho risolto così: \(\displaystyle a \cdot b = -24 \), il triplo di a, cioè moltiplico entrambi i membri per 3: \(\displaystyle 3 \cdot a \cdot b = -24 \cdot 3 \), l'opposto di -b, cioè moltiplico entrambi membri per -1: \(\displaystyle 3 \cdot a \cdot b \cdot -1 = -24 \cdot 3 \cdot -1 \), allora ottengo \(\displaystyle (3a) \cdot (-b) = +72 \).
Ora, però, non so se in prima superiore (max seconda superiore) bisognerebbe ragionare così. Riuscite a vedere un metodo più semplice di quello a cui ho pensato?
Beh, sì, dai... Per gli ultimi esercizi bastano i rudimenti di calcolo letterale che già si insegnano alle medie.
Un suggerimento su somma e prodotto: quando trovi i divisori di un numero, incolonna i divisori in maniera opportuna e non dimenticare i segni.
Ad esempio, invece di scrivere i divisori di $36$ così:
$+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-9, +-12, +-18, +-36$
(cioè in maniera sequenziale) scrivili incolonnati a coppie:
$\{(+-1, +-2, +-3, +-4, +-6), (+-36, +-18, +-12, +-9, +-6):}$
così sai già che quelli nella stessa colonna ti danno come prodotto proprio $36$ (a meno del segno, ovviamente).
Un suggerimento su somma e prodotto: quando trovi i divisori di un numero, incolonna i divisori in maniera opportuna e non dimenticare i segni.
Ad esempio, invece di scrivere i divisori di $36$ così:
$+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-9, +-12, +-18, +-36$
(cioè in maniera sequenziale) scrivili incolonnati a coppie:
$\{(+-1, +-2, +-3, +-4, +-6), (+-36, +-18, +-12, +-9, +-6):}$
così sai già che quelli nella stessa colonna ti danno come prodotto proprio $36$ (a meno del segno, ovviamente).
"gugo82":
quando trovi i divisori di un numero, incolonna i divisori in maniera opportuna e non dimenticare i segni.
Oppure (e mi sembra un po' più rapido) comincia pensando al solo valore assoluto: ad esempio se il prodotto è 12 o -12, pensa che $12=1*12=2*6=3*4$. Poi:
- se il prodotto ha il +, i due fattori hanno lo stesso segno, che è quello della somma; sommando i due numeri trovi il valore assoluto della somma;
- se il prodotto ha il -, i due fattori hanno segno diverso ed il più grande ha il segno della somma; con una sottrazione trovi il valore assoluto della somma.
Con prodotto 36, pensi che $36=1*36=2*18=3*12=4*9=6*6$
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