Determinare i coefficienti della funzione
Allora, l'altro giorno sono stato assente in classe e il prof ha iniziato a spiegare questo esercizio. Dovrebbe essere abbastanza semplice, ma evidentemente mi sfugge qualcosa.
Determinare i coefficienti a e b affinchè la funzione $f(x)=log(ax^2+bx+4)$ abbia in A($-1;log3$) un punto di minimo locale.
Allora, io ho provato a risolverlo sostituendo nella funzione i valori $x=-1$ e $y=log3$ e quindi la $f(x)$ dovrebbe venire $log3=log(a-b+4)$.
In qualche modo dovrei mettere a sistema i due parametri a e b, ma non riesco proprio a capire con cosa...
Scusate se può sembrare banale!
Grazie in anticipo a tutti...
Determinare i coefficienti a e b affinchè la funzione $f(x)=log(ax^2+bx+4)$ abbia in A($-1;log3$) un punto di minimo locale.
Allora, io ho provato a risolverlo sostituendo nella funzione i valori $x=-1$ e $y=log3$ e quindi la $f(x)$ dovrebbe venire $log3=log(a-b+4)$.
In qualche modo dovrei mettere a sistema i due parametri a e b, ma non riesco proprio a capire con cosa...
Scusate se può sembrare banale!
Grazie in anticipo a tutti...
Risposte
Studiare i punti di minimo (non i minimi, i punti di minimo, cioè gli argomeniti dei minimi)* di $\log(ax^2+bx+4)$ equivale a studiare quelli di $ax^2 + bx + 4$. Questa è una parabola, e ha un minimo in $-\frac{b}{2a}$ sse $a>0$.
Quindi devi imporre $-\frac{b}{2a} = -1$, poi nella funzione assegnata, quella per intenderci con il log, sostituisci $b=2a$, uguagli tutto a $\log(3)$ e risolvi, determinando $a$, e quindi poi $b$.
*Ovviamente vale anche per i massimi.
Quindi devi imporre $-\frac{b}{2a} = -1$, poi nella funzione assegnata, quella per intenderci con il log, sostituisci $b=2a$, uguagli tutto a $\log(3)$ e risolvi, determinando $a$, e quindi poi $b$.
*Ovviamente vale anche per i massimi.
derivi la funzione che vi ha dato la prov ed esce $y'(x)= (2ax+b)/(ax^2+bx+4)$. ora affinchè sia presente un punto di minimo srve che la derivata sia nulla e quindi che $2ax+ b =0$ usa questa relazione accoppiata a quella che hai trovato da solo (il passaggio per il punto) e così hai 2 condizioni e puoi trovare sia a che b
Ok, grazie ad entrambi!
ma bastava porre in un sistema di 2 equazioni in 2 incognite le coordinate del vertice così
${(x=-b/(2a)),(y=-Delta/(4a)):}$ in questo caso $x = -1$ e $y = log3$
(Sinceramente c'ho messo un pò per arrivarci..
)
${(x=-b/(2a)),(y=-Delta/(4a)):}$ in questo caso $x = -1$ e $y = log3$
(Sinceramente c'ho messo un pò per arrivarci..
)
Non sono sicuro della correttezza della soluzione ma penso che dovrebbe essere giusta.
Derivo la funzione in Xo: $f(x)=(-2a+b)/(a-b+4)$ perchè sia un punto di minimo la pongo uguale a 0: $-2a=b$.
Poi calcolo la funzione nel punto Xo $ln(3)=ln(a-b+4)$ quindi $3=a-b+4$ e infine pongo a sistema le due condizioni:
${(2a=b),(a+4-3-b=0):}$
${(a=1),(b=2):}$
Penso possa essere giusto ma ribadisco non ne sono certo...
Derivo la funzione in Xo: $f(x)=(-2a+b)/(a-b+4)$ perchè sia un punto di minimo la pongo uguale a 0: $-2a=b$.
Poi calcolo la funzione nel punto Xo $ln(3)=ln(a-b+4)$ quindi $3=a-b+4$ e infine pongo a sistema le due condizioni:
${(2a=b),(a+4-3-b=0):}$
${(a=1),(b=2):}$
Penso possa essere giusto ma ribadisco non ne sono certo...
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