Determinare equazione di funzione omografica
Salve a tutti, vi volevo proporre il testo di un esercizio che non riesco a risolvere:
-Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera traslata y= (ax+b)/(cx + d) avente il centro di simmetria nel punto (1;-3) e passante per il punto (-1;-1)
[y = (3x +1)/(1-x)]
Determinare l'equazione di una conica non è difficile, basta impostare il sistema con l'equazione generale della conica, dopo aver sostituito le x e y con le coordinate del punto, e con le equazione degli asintoti derivanti dal centro di simmetria; però ho solo 3 condizioni, quando le incognite da determinare sono quattro! Di solito la professoressa ci dava esercizi simili ma con 3 incognite, e non quattro.
E' possibile risolvere questo esercizio?
-Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera traslata y= (ax+b)/(cx + d) avente il centro di simmetria nel punto (1;-3) e passante per il punto (-1;-1)
[y = (3x +1)/(1-x)]
Determinare l'equazione di una conica non è difficile, basta impostare il sistema con l'equazione generale della conica, dopo aver sostituito le x e y con le coordinate del punto, e con le equazione degli asintoti derivanti dal centro di simmetria; però ho solo 3 condizioni, quando le incognite da determinare sono quattro! Di solito la professoressa ci dava esercizi simili ma con 3 incognite, e non quattro.
E' possibile risolvere questo esercizio?
Risposte
Si è possibile. Scrivi le incognite $a$,$b$ e $d$ in funzione di $c$ e in seguito riscrivi l'equazione dell'iperbole con i corrispettivi valori di $a$,$b$, e $d$ in funzione di $c$, dunque potrai semplificare $c$ e otterrai la tua iperbole.
In effetti le incognite sono 4 solo in apparenza, dividendo numeratore e denominatore per $c$, che è $ !=0$ altrimenti non sarebbe un'iperbole, si ottiene $y=((a/c)x+(b/c))/(x+(d/c))$ da cui ponendo $a/c=h$, $b/c=k$ e $d/c=l$ si ottiene un problema con 3 sole incognite.
Credo, comunque, che il metodo suggerito da Vulplasir sia il più veloce e immediato.
Credo, comunque, che il metodo suggerito da Vulplasir sia il più veloce e immediato.
Ok, ho fatto come mi avete detto voi, però arrivo ad un punto in cui determino che b= -c, d=-c e a=-3c !
Sostituendo tali valore all'equazione dell'iperbole non determino nulla perché si annulla tutto! Come devo fare?
Sostituendo tali valore all'equazione dell'iperbole non determino nulla perché si annulla tutto! Come devo fare?

Sostituendo le tue soluzioni nell'equazione ottieni
$y=(-3cx-c)/(cx-c)$
Ora metti in evidenza $c$ e semplificalo: ti resta $y=(-3x-1)/(x-1)$ che è l'equazione voluta.
$y=(-3cx-c)/(cx-c)$
Ora metti in evidenza $c$ e semplificalo: ti resta $y=(-3x-1)/(x-1)$ che è l'equazione voluta.
Ottimo! Grazie mille del chiarimento gianmaria, e grazie anche agli altri per l'aiuto
