Descrescenza di una successione
Salve, sto impazzendo per dimostrare la decrescenza di questa successione, così fatta:
$a_n = (2^n + 2) / (3^n + n^2)$
Ho provato a porre $n_1 < n_2$ e cercare di dimostrare poi che $a_(n_1) > a_(n_2)$, ma non ne esco più. È il procedimento migliore o si può ragionare in maniera più semplice?
Grazie mille per l'attenzione!
$a_n = (2^n + 2) / (3^n + n^2)$
Ho provato a porre $n_1 < n_2$ e cercare di dimostrare poi che $a_(n_1) > a_(n_2)$, ma non ne esco più. È il procedimento migliore o si può ragionare in maniera più semplice?
Grazie mille per l'attenzione!
Risposte
Finora ha trovato solo una soluzione piuttosto brutta; comunque te la scrivo e forse riuscirò a migliorarla in futuro.
Posso scrivere
$a_n= (2^n)/(3^n+n^2)+2/(3^n+n^2)$
Al crescere di $n$ il denominatore aumenta, quindi la seconda frazione decresce; basta dimostrare che lo fa anche la prima, che chiamerò $b_n$. A questo scopo dimostro che si ha $b_n>b_(n+1)$, cioè
$(2^n)/(3^n+n^2)>(2^(n+1))/(3^(n+1)+(n+1)^2)$
Semplifico per $2^n$ e do denominatore comune, trascurando il positivo denominatore; ottengo
$3*3^n+(n+1)^2>2*3^n+2n^2=>3^n>n^2-2n-1$
Confrontando i grafici di $y_1=3^x$ e di $y_2=x^2-2x-1$ noto che per ogni $x$ positiva si ha $y_1>y_2$ e quindi la mia diseguaglianza è vera.
Posso scrivere
$a_n= (2^n)/(3^n+n^2)+2/(3^n+n^2)$
Al crescere di $n$ il denominatore aumenta, quindi la seconda frazione decresce; basta dimostrare che lo fa anche la prima, che chiamerò $b_n$. A questo scopo dimostro che si ha $b_n>b_(n+1)$, cioè
$(2^n)/(3^n+n^2)>(2^(n+1))/(3^(n+1)+(n+1)^2)$
Semplifico per $2^n$ e do denominatore comune, trascurando il positivo denominatore; ottengo
$3*3^n+(n+1)^2>2*3^n+2n^2=>3^n>n^2-2n-1$
Confrontando i grafici di $y_1=3^x$ e di $y_2=x^2-2x-1$ noto che per ogni $x$ positiva si ha $y_1>y_2$ e quindi la mia diseguaglianza è vera.
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