Derivibilità di una funzione
Dovrei studiare la continuità e la derivabilità della funzione $ \ (y= sqrt(x^2-4x) , x<=0, Y= e^(-1/x) x>0 )$
La continuità si dimostra facilmente, per dimostrare che è derivabile nel punto 0, ho dimostrato che il limite del rapporto incrementale a sinistra di 0 vale 0, ma a destra di 0, il limite del rapporto mi viene $ lim (x>0 )(e^(-1/x)/x$ che dovrei risolvere senza Hopital, ma che non sono riuscita a risolvere , va bene il procedimento che ho seguito e come posso risolvere quel limite? Grazie
La continuità si dimostra facilmente, per dimostrare che è derivabile nel punto 0, ho dimostrato che il limite del rapporto incrementale a sinistra di 0 vale 0, ma a destra di 0, il limite del rapporto mi viene $ lim (x>0 )(e^(-1/x)/x$ che dovrei risolvere senza Hopital, ma che non sono riuscita a risolvere , va bene il procedimento che ho seguito e come posso risolvere quel limite? Grazie
Risposte
il primo limite a me risulta essere $-oo$, e questo basterebbe per affermare che la funzione non è derivabile in 0
Vero, avevo sbagliato . Vorrei sottoporti un altro esercizio ; dovrei calcolare la derivata della funzione $( y= 4^(x^2-3) $, nel punto $ x=2) $, applicando la definizione e sempre senza Hopital, ma qui nel fare il limite del rapporto incrementale mi viene una forma indeterminata (zero su zero che non riesco a togliere), applicando la regola di derivazione mi viene come risultato se non ho fatto errori 16 log4. Come posso togliere la forma indeterminata, ho provato anche con delle messe in evidenza o ponendo $ y=x^2-3 $ Grazie ancora
se ti limiti a considerare la derivata ,che è:
$4^(x^2-3)*2x*ln4$ , comunque tu faccia il limite (sia da destra che da sinistra), avrai quello che hai scritto :
$16*ln4$
P.S. mi sembra però che tu debba ogni volta considerare il limite del rapporto incrementale, e quindi adesso provo a fare i calcoli, ma comunque dovrei necessariamente ottenere lo stesso risultato
$4^(x^2-3)*2x*ln4$ , comunque tu faccia il limite (sia da destra che da sinistra), avrai quello che hai scritto :
$16*ln4$
P.S. mi sembra però che tu debba ogni volta considerare il limite del rapporto incrementale, e quindi adesso provo a fare i calcoli, ma comunque dovrei necessariamente ottenere lo stesso risultato
credo d'aver trovato la soluzione
il rapporto incrementale è: $(4^((x+h)^2-3)-4^(x^2-3))/h$
sviluppa il quadrato e poi raccogli : $(4^(x^2-3)(4^(h^2+2hx)-1))/h$
ti resta quindi da trovare il limite di $(4^(h^2+2hx)-1)/h$ ; puoi allora scrivere così, dopo aver sostituito ad x 2:
$4^(h^2+4h)=(4^(h+4))^h$
per comodità puoi porre : $4^(h+4)=y$ , ed hai il limite notevole :
$lim_(h->0)(y^h-1)/h=lny$ , cioè : $ln4^(h+4)=ln(4^4)=4ln4$
il rapporto incrementale è: $(4^((x+h)^2-3)-4^(x^2-3))/h$
sviluppa il quadrato e poi raccogli : $(4^(x^2-3)(4^(h^2+2hx)-1))/h$
ti resta quindi da trovare il limite di $(4^(h^2+2hx)-1)/h$ ; puoi allora scrivere così, dopo aver sostituito ad x 2:
$4^(h^2+4h)=(4^(h+4))^h$
per comodità puoi porre : $4^(h+4)=y$ , ed hai il limite notevole :
$lim_(h->0)(y^h-1)/h=lny$ , cioè : $ln4^(h+4)=ln(4^4)=4ln4$
La derivata della funzione $f(x) = 4^( x^2 - 3) $ calcolata nel punto $2$ è $16 ln(4)$
Vi torna?
Vi torna?
"Nicole93":
per comodità puoi porre : $4^(h+4)=y$ , ed hai il limite notevole :
$lim_(h->0)(y^h-1)/h=lny$ , cioè : $ln4^(h+4)=ln(4^4)=4ln4$
Oltre il fatto che ti sei dimenticata un $4$ che moltiplica il tuo limite, secondo me hai sbagliato nel passaggio che ho riportato.
L'errore di fondo secondo me è questo:
$lim_(h->0) (y^h - 1)/h = ln(y) = ln[y(h)]$
Dove $y$ è una funzione di $h$. Il limite notevole non si può adoperare in questa maniera. Dopo aver portato al limite, magicamente ti rimane la variabile $h$ nell'argomento del logaritmo che porti nuovamente al limite in un secondo momento.
Che ne dici?
"Nicole93":
credo d'aver trovato la soluzione
il rapporto incrementale è: $(4^((x+h)^2-3)-4^(x^2-3))/h$
sviluppa il quadrato e poi raccogli : $(4^(x^2-3)(4^(h^2+2hx)-1))/h$
ti resta quindi da trovare il limite di $(4^(h^2+2hx)-1)/h$ ; puoi allora scrivere così, dopo aver sostituito ad x 2:
$4^(h^2+4h)=(4^(h+4))^h$
per comodità puoi porre : $4^(h+4)=y$ , ed hai il limite notevole :
$lim_(h->0)(y^h-1)/h=lny$ , cioè : $ln4^(h+4)=ln(4^4)=4ln4$
Da dove sei arrivata tu, io risolverei così:
$lim_(h -> 0) (4^(h(h+4))-1)/h$
Poni: [size=75](1)[/size] $y = h( h + 4)$ e sostituisci solo al numeratore:
$lim_(h -> 0 , y -> 0) (4^(y)-1)/h$
Dalla posizione [size=75](1)[/size], dividento per $y$, hai:
$1 = h( h + 4)/y$
Moltiplicando per $1$ (ossia per $ h( h + 4)/y$ ) la funzione sotto il segno di limite, hai:
$lim_(h -> 0 , y -> 0) (4^(y)-1)/h * h( h + 4)/y = lim_(h -> 0 , y -> 0) (4^(y)-1)/y * ( h + 4) = 4 * ln(4)$
"Seneca":
[quote="Nicole93"]
per comodità puoi porre : $4^(h+4)=y$ , ed hai il limite notevole :
$lim_(h->0)(y^h-1)/h=lny$ , cioè : $ln4^(h+4)=ln(4^4)=4ln4$
Oltre il fatto che ti sei dimenticata un $4$ che moltiplica il tuo limite, secondo me hai sbagliato nel passaggio che ho riportato.
L'errore di fondo secondo me è questo:
$lim_(h->0) (y^h - 1)/h = ln(y) = ln[y(h)]$
Dove $y$ è una funzione di $h$. Il limite notevole non si può adoperare in questa maniera. Dopo aver portato al limite, magicamente ti rimane la variabile $h$ nell'argomento del logaritmo che porti nuovamente al limite in un secondo momento.
Che ne dici?[/quote]
non mi ero dimenticata il 4 , in quanto davo per scontato che alla fine si dovesse sostituire 2 a $4^(x^2-3)$ che avevo portato fuori dal limite
per il resto, in effetti ho svolto l'esercizio un po' troppo in fretta, poichè dal momento che riuscivo a ricondurmi al limite notevole non mi sono posta il problema della variabile h
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