Derivate successive di un polinomio.
Se non ricordo male esiste un teorema che assicura , se $alpha$ è soluzione di molteplicità $n$ del polinomio $P(x)$, allora $P(alpha)=0$, ed il fattore $(x-alpha)^k$ $|$ $P(x)$. Ora ieri ho fatto una banale osservazione, se $alpha$ è una soluzione di molteplicità $k<=n$ con $k,n$ $in N$,
di un polinomio $P(x)$ di grado $n$ allora $alpha$ è soluzione di $P'(x)$, $P''(x)$, $.....$ $P^k(x)$, cioè risulta $P'(alpha)=0$ $P''(alpha)=0$ $......$ $P^k(alpha)=0$ ?
Ho fatto la prova prendendo come esempio la funzione $(x-2)^2(x-1)$ dove pongo $alpha=2$, ed applicando la definizione di prodotto di due funzioni derivabili ho in modo semplice constatato la vericidità dell'asserto, che si può ovviamente generalizzare.
Magari é sbagliato , ma così al momento mi é sembrato vero, qualcuno può controllare?
di un polinomio $P(x)$ di grado $n$ allora $alpha$ è soluzione di $P'(x)$, $P''(x)$, $.....$ $P^k(x)$, cioè risulta $P'(alpha)=0$ $P''(alpha)=0$ $......$ $P^k(alpha)=0$ ?
Ho fatto la prova prendendo come esempio la funzione $(x-2)^2(x-1)$ dove pongo $alpha=2$, ed applicando la definizione di prodotto di due funzioni derivabili ho in modo semplice constatato la vericidità dell'asserto, che si può ovviamente generalizzare.
Magari é sbagliato , ma così al momento mi é sembrato vero, qualcuno può controllare?
Risposte
Il tuo ragionamento è sostanzialmente corretto. Ricorda, però, che
se $alpha$ è una soluzione di molteplicità $k<=n$ con $k,n$ $in N$, di un polinomio $P(x)$ di grado $n$ allora $alpha$ è soluzione di $P(x)$, $P'(x)$, $P''(x)$, $.....$ $P^(k-1)(x)$, cioè risulta $P(alpha)=0$ $P'(alpha)=0$ $P''(alpha)=0$ $......$ $P^(k-1)(alpha)=0$.
Devi partire da $P(x)$ e quindi arrivi alla molteplicità $k$ quando sei alla derivata $(k-1)$-esima, e non alla $k$-esima.
se $alpha$ è una soluzione di molteplicità $k<=n$ con $k,n$ $in N$, di un polinomio $P(x)$ di grado $n$ allora $alpha$ è soluzione di $P(x)$, $P'(x)$, $P''(x)$, $.....$ $P^(k-1)(x)$, cioè risulta $P(alpha)=0$ $P'(alpha)=0$ $P''(alpha)=0$ $......$ $P^(k-1)(alpha)=0$.
Devi partire da $P(x)$ e quindi arrivi alla molteplicità $k$ quando sei alla derivata $(k-1)$-esima, e non alla $k$-esima.
x@melia.Grazie mille per la risposta!
Giustamente come ha detto lei è la $P^(k-1)$ che si annulla per $x=alpha$, la $P^k(alpha)$ é sicuramente diversa da zero in quanto non si annulla per $x=alpha$;
se prendo in esame la funzione polinomiale $P(x)=(x-2)^2(x-1)$, iterando la derivazione ottengo : $P'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)^2$ , $P''(x)=2(x-1)+2(x-2)+2(x-2)$, ed evidentemente la $P''(2)$ non si annulla in quanto nell'espressione compare il fattore $2(x-1)$.
Sembrerebbe che questo fatto si può generalizzare, provando a prendere ad esempio la funzione $P(x)=(x-2)^3(x-1)^3(x-5)^4$ iterando la derivazione, dovrei avere come $P'''(x)$ un espressione in cui l'unico fattore che non si annulla per $x=2$ è dato da $3!(x-1)^3(x-5)^4$, mi sbaglio?
Giustamente come ha detto lei è la $P^(k-1)$ che si annulla per $x=alpha$, la $P^k(alpha)$ é sicuramente diversa da zero in quanto non si annulla per $x=alpha$;
se prendo in esame la funzione polinomiale $P(x)=(x-2)^2(x-1)$, iterando la derivazione ottengo : $P'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)^2$ , $P''(x)=2(x-1)+2(x-2)+2(x-2)$, ed evidentemente la $P''(2)$ non si annulla in quanto nell'espressione compare il fattore $2(x-1)$.
Sembrerebbe che questo fatto si può generalizzare, provando a prendere ad esempio la funzione $P(x)=(x-2)^3(x-1)^3(x-5)^4$ iterando la derivazione, dovrei avere come $P'''(x)$ un espressione in cui l'unico fattore che non si annulla per $x=2$ è dato da $3!(x-1)^3(x-5)^4$, mi sbaglio?
Stavolta mi pare corretto.
Ok!
Il motivo di queste considerazioni è dovuto al fatto di riuscire a mostrare che il teorema di Hopital per funzioni che siano polinomi si può ricavare dalle suddette considerazioni; infatti da quello che ho scritto emerge che se prendo due polinomi:
$P(x)$ ed $Q(x)$ che si annullano per $x=alpha$, e provo a fare il limite per $x$ che tende ad $alpha$, del loro rapporto $P(x)//Q(x)$ avrò una forma indeterminata $0/0$ , posso iterare la derivazione, $P'(x)//Q'(x)$, $P''(x)//Q''(x)$,..... $P^i(x)//Q^i(x)$ sino ad eliminazione della forma indeterminata e così ottenere il valore del limite.
Faccio un esempio: sia $P(x)= (x-2)^3(x-1)^3(x-5)^4$, ed $Q(x)= (x-2)^3(x-7)^2$ , iterando sino alla $3°$ derivata ciascuno dei polinomi ossia $P'''(x)//Q'''(x)$ ottengo che i fattori che non si annullano per $x=2$ dei due polinomi, sono dati rispettivamente da $3!(x-1)^3(x-5)^4$ per $P'''(x)$, ed $3!(x-7)^2$ per $Q'''(x)$, il loro rapporto da il valore del limite cercato per $x$ tendente a $2$. Mi sbaglio?
Il motivo di queste considerazioni è dovuto al fatto di riuscire a mostrare che il teorema di Hopital per funzioni che siano polinomi si può ricavare dalle suddette considerazioni; infatti da quello che ho scritto emerge che se prendo due polinomi:
$P(x)$ ed $Q(x)$ che si annullano per $x=alpha$, e provo a fare il limite per $x$ che tende ad $alpha$, del loro rapporto $P(x)//Q(x)$ avrò una forma indeterminata $0/0$ , posso iterare la derivazione, $P'(x)//Q'(x)$, $P''(x)//Q''(x)$,..... $P^i(x)//Q^i(x)$ sino ad eliminazione della forma indeterminata e così ottenere il valore del limite.
Faccio un esempio: sia $P(x)= (x-2)^3(x-1)^3(x-5)^4$, ed $Q(x)= (x-2)^3(x-7)^2$ , iterando sino alla $3°$ derivata ciascuno dei polinomi ossia $P'''(x)//Q'''(x)$ ottengo che i fattori che non si annullano per $x=2$ dei due polinomi, sono dati rispettivamente da $3!(x-1)^3(x-5)^4$ per $P'''(x)$, ed $3!(x-7)^2$ per $Q'''(x)$, il loro rapporto da il valore del limite cercato per $x$ tendente a $2$. Mi sbaglio?
Mi pare che scomodare De L'Hospital per questo limite sia come volere un cannone per uccidere una mosca, basta semplificare il fattore comune nei due polinomi.
Daccordo,si semplifica facilmente poichè in questo caso i due polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ sono presentati già scomposti in fattori , diversamente però
dovrei,se non applico Hopital ,al fine del calcolo del limite, eseguire la scomposizione , e non so se é più conveniente!
Comunque la domanda era, se dalle considerazioni fatte, senza perdita di generalità, si deduce la regola di Hopital, almeno per le funzioni che sono polinomi.
Scusa se insisto nelle domande ma sono molto interessato all'argomento!
dovrei,se non applico Hopital ,al fine del calcolo del limite, eseguire la scomposizione , e non so se é più conveniente!
Comunque la domanda era, se dalle considerazioni fatte, senza perdita di generalità, si deduce la regola di Hopital, almeno per le funzioni che sono polinomi.
Scusa se insisto nelle domande ma sono molto interessato all'argomento!
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