Derivate e geometria analitica
Scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di equazione y=2x^3 -2x e passante per il punto A(0;-4)
Allora so che la derivata sarebbe il coefficiente angolare della ratte tangente la curva in un punto quindi
y' = 6x^2 -2
E so che la condizione di retta passante per un punto e m noto è: y-y0 =m(x-x0)
Ma come faccio a trovare l'equazione?
Allora so che la derivata sarebbe il coefficiente angolare della ratte tangente la curva in un punto quindi
y' = 6x^2 -2
E so che la condizione di retta passante per un punto e m noto è: y-y0 =m(x-x0)
Ma come faccio a trovare l'equazione?
Risposte
Allora il fascio di rette generico passante per (0,-4)è:
y +4 = m(x-0)------------------ y=mx-4
Questo è il genere fascio di rette passante per il punto A.
Tra tutte le rette passanti per A devi prendere quella tangente alla curva y=2x^3-2x.
In questo caso calcoli la derivata f'(x) = 6x^2-2
il coefficiente angola m che serve a te è quello in cui f'(x=0) cioè calcolato dove è l'ascissa del punto A.
f'(x=0) = -2 cioè m=-2
LA retta che serve a te è: y=-2x+4.
In generale data la funzione y= f(x), l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x0,y0), se tale retta esiste e non è parallela all'asse y è:
y-y0= f'(x0)*(x-x0)
y +4 = m(x-0)------------------ y=mx-4
Questo è il genere fascio di rette passante per il punto A.
Tra tutte le rette passanti per A devi prendere quella tangente alla curva y=2x^3-2x.
In questo caso calcoli la derivata f'(x) = 6x^2-2
il coefficiente angola m che serve a te è quello in cui f'(x=0) cioè calcolato dove è l'ascissa del punto A.
f'(x=0) = -2 cioè m=-2
LA retta che serve a te è: y=-2x+4.
In generale data la funzione y= f(x), l'equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x0,y0), se tale retta esiste e non è parallela all'asse y è:
y-y0= f'(x0)*(x-x0)
Hai capito male il quesito. Voglio la retta che passa per quel punto, non tangente in quel punto
questi problemi sono classici.
allora intanto vogliamo che la nostra retta sia tale che passi per $P(0,-4)$ quindi la retta sarà certamente
$y=mx-4$ che è il fascio di rette proprio di centro $P(0,-4)$. Ciò che rimane da stabilire è proprio il coefficiente angolare della retta tangente al grafico, passante per quel punto.
$f(x)=2x^3-2x$ è la nostra incriminata.
Cominciamo calcolandola nel punto di tangenza chiamato $c$ puoi chiamarlo anche banana volendo.
$f(c)=2c^3-2c$ rappresenta la funzione calcolata nel punto di tangenza. Che al momento risulta un parametro.
Adesso facciamo lo stesso con la derivata ovvero $f'(x)=6x^2-2$ ottenendo $f'(c)=6c^2-2$
Ora ragioniamo:
la retta passa per i punti $P(0,-4)$ e $Q(c,2c^3-2c)$ con coefficiente angolare $m=6c^2-2$ se questo è vero, sostituendo tutti i valori in una retta, dobbiamo ottenere un'uguaglianza verificata per un certo $c$, sviluppiamo.
$y-y_a=m(x-x_a)$ facciamo una lista, così ti faccio tutto il passaggio.
$y=-4$
$y_a=2c^3-2c$
$x=0$
$x_a=c$
$m=6c^2-2$
ottenendo quindi $-4-(2c^3-2c)=(6c^2-2)(0-c)$
$-4-2c^3+2c=-6c^3+2c$ i dueccì se ne vanno via e $4c^3-4=0$ ovvero $c=1$
abbiamo ottenuto un valore, quindi per quel valore, ci sarà un'uguaglianza verificata. Troviamoci il nostro coefficiente angolare sostituendo $c=1$ ovvero $f'(1)=4$
la retta quindi sarà $y=4x-4$ notiamo che se sostituiamo $x=0$ otteniamo proprio $y=-4$ fine.
Se non ti dovesse esser chiaro qualcosa, dì.
EDIT
i vari edit sono serviti per correggere gli errori da LaTeX
allora intanto vogliamo che la nostra retta sia tale che passi per $P(0,-4)$ quindi la retta sarà certamente
$y=mx-4$ che è il fascio di rette proprio di centro $P(0,-4)$. Ciò che rimane da stabilire è proprio il coefficiente angolare della retta tangente al grafico, passante per quel punto.
$f(x)=2x^3-2x$ è la nostra incriminata.
Cominciamo calcolandola nel punto di tangenza chiamato $c$ puoi chiamarlo anche banana volendo.
$f(c)=2c^3-2c$ rappresenta la funzione calcolata nel punto di tangenza. Che al momento risulta un parametro.
Adesso facciamo lo stesso con la derivata ovvero $f'(x)=6x^2-2$ ottenendo $f'(c)=6c^2-2$
Ora ragioniamo:
la retta passa per i punti $P(0,-4)$ e $Q(c,2c^3-2c)$ con coefficiente angolare $m=6c^2-2$ se questo è vero, sostituendo tutti i valori in una retta, dobbiamo ottenere un'uguaglianza verificata per un certo $c$, sviluppiamo.
$y-y_a=m(x-x_a)$ facciamo una lista, così ti faccio tutto il passaggio.
$y=-4$
$y_a=2c^3-2c$
$x=0$
$x_a=c$
$m=6c^2-2$
ottenendo quindi $-4-(2c^3-2c)=(6c^2-2)(0-c)$
$-4-2c^3+2c=-6c^3+2c$ i dueccì se ne vanno via e $4c^3-4=0$ ovvero $c=1$
abbiamo ottenuto un valore, quindi per quel valore, ci sarà un'uguaglianza verificata. Troviamoci il nostro coefficiente angolare sostituendo $c=1$ ovvero $f'(1)=4$
la retta quindi sarà $y=4x-4$ notiamo che se sostituiamo $x=0$ otteniamo proprio $y=-4$ fine.
Se non ti dovesse esser chiaro qualcosa, dì.
EDIT
i vari edit sono serviti per correggere gli errori da LaTeX
"anto_zoolander":
... Cominciamo calcolandola in un punto generico chiamato $c$ ...
... la retta passa per i punti $P(0,-4)$ e $Q(c,2c^3-2c)$ con coefficiente angolare $m=6c^2-2$ ...
Non è un punto generico, è il punto di tangenza ...
"axpgn":
[quote="anto_zoolander"]
... Cominciamo calcolandola in un punto generico chiamato $c$ ...
... la retta passa per i punti $P(0,-4)$ e $Q(c,2c^3-2c)$ con coefficiente angolare $m=6c^2-2$ ...
Non è un punto generico, è il punto di tangenza ...
[/quote]hai visto
giusto, perché in effetti è quello che stiamo cercando Edito.
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