Derivate di funzioni
Ho un dubbio. Quando faccio le derivate non riesco a distinguere bene quando ho a che fare con una funzione composta. Chi me lo spiega ?
per esempio:
$ y=\sqrt(cosx) $
grazie
per esempio:
$ y=\sqrt(cosx) $
grazie
Risposte
Ciao, la prima cosa che devi derivare è la radice. In particolare viene "1 fratto due volte la radice di quello che c'è (qualunque cosa sia)". Poi moltiplichi per la derivata di quello che c'è sotto.
In questo caso abbiamo: $1/(2*sqrt(cosx))*(-sin x)$.
In questo caso abbiamo: $1/(2*sqrt(cosx))*(-sin x)$.
se hai $y = f\ (g(x))$ devi sapere che $y' = f'\ (g(x))\ g'(x)$
ti faccio un altro esempio come ha fatto minomic.
$y = \sin (x^2) $ puoi provare che $y' = \cos (x^2)\ 2x$
ti faccio un altro esempio come ha fatto minomic.
$y = \sin (x^2) $ puoi provare che $y' = \cos (x^2)\ 2x$
grazie per l'aiuto, ora ho capito bene il procedimento per derivare le funzioni composte,però non riesco ancora a riconoscere(capire) se una funzione è composta oppure no?
Non è difficile, prova a pensare ai "passi" che devi fare per arrivare alla funzione che hai partendo da una semplice $x$.
Dall'esempio di smaug: $x rarr x^2 rarr sin(x^2)$.
Dall'esempio di smaug: $x rarr x^2 rarr sin(x^2)$.
scrivi qui le funzioni che non sai riconoscere e vediamo! una funzione non composta è $f(x ) = \sin x $, mentre un'altra è $g (x) = \log x$ la funzione composta è $f (g (x)) = \sin (\log x)$ oppure $g (f (x)) = \log (\sin x)$
Prova a derivare queste due che ti ho scritto e posta i risultati!
Prova a derivare queste due che ti ho scritto e posta i risultati!
$ y=sin(logx) > y'= cos(logx)*1/x$
$ y=log(sinx) > y'= 1/x*sinx*cosx$
volevo chiederti perchè la seguente funzione è composta:
$ y= (4x-5)^5 $
perchè ha una sottrazione e una potenza ?
$ y=log(sinx) > y'= 1/x*sinx*cosx$
volevo chiederti perchè la seguente funzione è composta:
$ y= (4x-5)^5 $
perchè ha una sottrazione e una potenza ?
La seconda non va bene: devi derivare il logaritmo facendo "1 fratto quello che c'è" cioè $1/sin x$ e poi moltiplicare per la derivata del seno, cioè il coseno. Quindi viene $1/sin x * cos x="cotan" x$
Per la composta segui i passaggi: $x rarr 4x rarr 4x-5 rarr (4x-5)^5$. Al di là della sottrazione, la funzione è composta da una moltiplicazione e un elevamento a potenza, quindi la derivata sarà.....
Per la composta segui i passaggi: $x rarr 4x rarr 4x-5 rarr (4x-5)^5$. Al di là della sottrazione, la funzione è composta da una moltiplicazione e un elevamento a potenza, quindi la derivata sarà.....
ok grazie, ho capito lo svolgimento , però non ho tanto capito quando dici che è composta da una moltiplicazione ??
E' quel $4x$. Possiamo vederla così: quando guardi $(4x-5)^5$ qual è la cosa più "esterna"? L'elevamento alla quinta, quindi deriviamolo: $5*(4x-5)^4$. Ora passiamo all'interno: c'è qualcosa da derivare? Sì perchè la derivata di $4x$ è $4$, quindi moltiplichiamo tutto per $4$ e abbiamo finito.
E' più chiaro?
E' più chiaro?
si grazie mille per la spiegazione , sei stato chiarissimo.
Figurati.
Per esercizio ti consiglio di provare a derivare qualche "mostro", tipo funzioni composte da 3, 4 componenti. Le regole sono sempre le stesse: si deriva la componente esterna, poi quella appena più interna, eccetera fino alla componente più interna.
Te ne propongo una: $sqrt(log[sin(2x+3)])$.
Non farti spaventare, il procedimento è piuttosto meccanico!
Per qualsiasi dubbio siamo qui.
Per esercizio ti consiglio di provare a derivare qualche "mostro", tipo funzioni composte da 3, 4 componenti. Le regole sono sempre le stesse: si deriva la componente esterna, poi quella appena più interna, eccetera fino alla componente più interna.
Te ne propongo una: $sqrt(log[sin(2x+3)])$.
Non farti spaventare, il procedimento è piuttosto meccanico!
Per qualsiasi dubbio siamo qui.
grazie ancora per la tua disponibilità , allora cerco di eseguire la tua derivata eseguendo prima la funzione più esterna che è la radice , poi il logaritmo, poi il seno e poi la moltiplicazione quindi :
siccome $ y= sqrt f(x) y'= 1/(2*sqrt f(x))*f'(x)$ per la radice
$ (1/(2*sqrt(log(sin(2x+3))))*1/(sin(2x+3))*1/(sin(2x+3))*cos(2x+3)*2*2$
penso che sia così .....?????
siccome $ y= sqrt f(x) y'= 1/(2*sqrt f(x))*f'(x)$ per la radice
$ (1/(2*sqrt(log(sin(2x+3))))*1/(sin(2x+3))*1/(sin(2x+3))*cos(2x+3)*2*2$
penso che sia così .....?????
Eh no hai scritto dei pezzi doppi che non ci volevano. Segui i passaggi:
1. derivo la radice: $1/(2sqrt(log[sin(2x+3)]))$
2. derivo il logaritmo: $1/sin(2x+3)$
3. derivo il seno: $cos(2x+3)$
4. derivo l'argomento del seno: $2$
Moltiplico tutto: $1/(2*sqrt(log[sin(2x+3)]))*1/sin(2x+3)*cos(2x+3)*2$ e lo scrivo un po' meglio arrivando a
$("cotan"(2x+3))/sqrt(log[sin(2x+3)])$.
1. derivo la radice: $1/(2sqrt(log[sin(2x+3)]))$
2. derivo il logaritmo: $1/sin(2x+3)$
3. derivo il seno: $cos(2x+3)$
4. derivo l'argomento del seno: $2$
Moltiplico tutto: $1/(2*sqrt(log[sin(2x+3)]))*1/sin(2x+3)*cos(2x+3)*2$ e lo scrivo un po' meglio arrivando a
$("cotan"(2x+3))/sqrt(log[sin(2x+3)])$.
Quindi la formula che ti ho scritto prima, per derivare la radice è sbagliata,perchè
è quella che mi ha fatto fare i doppioni???
è quella che mi ha fatto fare i doppioni???
"umbe93":
Quindi la formula che ti ho scritto prima, per derivare la radice è sbagliata,perchè
è quella che mi ha fatto fare i doppioni???
No la formula era giusta ma hai interpretato male il significato di $f'(x)$. Se anche questa $f(x)$ che compare sotto la radice è una funzione composta, per derivarla si procede nello stesso modo, identificando le componenti esterne ed interne, e così via in modo ricorsivo.
grazie ora ho capito un po di più , ho però un altro esercizio su cui chiederti spiegazioni :
$ cos^2(5x-1) $
se lo provo a risolvere lo ragiono così :
$ 2*cos(5x-1)*-sin(5x-1)*5 $
ti sembra giusto ?
$ cos^2(5x-1) $
se lo provo a risolvere lo ragiono così :
$ 2*cos(5x-1)*-sin(5x-1)*5 $
ti sembra giusto ?
A parte la parentesi, perché $*-$ è solo la A nell'alfabeto morse, il resto è corretto
$ 2*cos(5x-1)*(-sin(5x-1))*5 $
$ 2*cos(5x-1)*(-sin(5x-1))*5 $
grazie mille , anche per avermi ricordato una dimenticanza che faccio spesso 
Giuro che questa è l'ultima per oggi...........
$(x^5-x^3)/sqrt(x+1)$
svolgimento $((5*x^4-3*x^2).sqrt(x+1)-((x^5-x^3)/(2sqrt(x+1))))/(x+1)$
è corretto?
$(x^5-x^3)/sqrt(x+1)$
svolgimento $((5*x^4-3*x^2).sqrt(x+1)-((x^5-x^3)/(2sqrt(x+1))))/(x+1)$
è corretto?
Sì è corretta. Magari la si può migliorare un po' facendo il minimo sopra ma comunque è giusta. 
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