Derivate

[Lando1]

Come consigliatomi apro un post unico per le derivate! (chiedo scusa se non l'ho fatto prima)

Chi mi risolve passaggio per passaggio con le debite semplificazioni le derivate delle seguenti funzioni?

1) y=((x)^(1/2)+1)^((x)^1/2)
2) y= ((x+(x)^1/3)^1/2)/(x)
3) y= (1+1/x)^x
4) y=(/x+1/)/((x+1)^1/2)
(la 42 sarebbe: il valore assoluto di x+1, diviso la radice quadrata di x+1)


PF aiutatemi che dmani ho il test!

Grazie in anticipo

[Camillo]

Ti faccio vedere come si opera per derivare la n.3 ( per le altre il metodo è lo stesso)
y=(x+1/x)^x che riscrivo così :
y=((x+1)/x)^x.
Quando hai delle funzioni del tipo : [f(x)]^(g(x))devi sempre trasformarle in :
e^[(g(x))*ln(f(x))] e poi procedere al calcolo di limiti o di derivate .
nel caso nostro diventa :
y = e^[x*ln((x+1)/x))] . Per derivarla ricorda le regole di derivazione delle funzioni composta nonchè la regola per la derivazione del prodotto di due funzioni .
y' = (e^[x*ln((x+1)/x))])*[1*ln((x+1)/x)+x*(x/(x+1))*((x-x-1)/x^2)]=

y' =(e^[x*ln((x+1)/x))])*[ln((x+1)/x)-(1/(x+1))] che adesso puoi riscrivere :
y' = [((x+1)/x)^x]*[ln((x+1)/x)-(1/(x+1))].
Se hai problemi batti un colpo.
Camillo

[Camillo]

Per chiarire meglio come si proceda per ottenere la derivata di una funzione del tipo : [f(x)]^[g(x)] , farò io un esempio molto semplice :
y=x^x , lo trasformo in : e^(x*lnx) , adesso derivo e ottengo :
[e^(x*lnx)]*[ ln x +x/x] = [e^(x*lnx)]*[ln x +1] e quindi :
y'= (x^x)*(lnx +1).
Camillo

[Lando1]

Per favore, aiutatemi anche per le altre, perché non mi escono!

[Lando1]

sono riuscito a farle tutte tranne la due che sopra forse ho scritto sbagliato cmq è questa:

((x+x^(1/3))^(1/2))/(x)

[Lando1]

Veramente, questa qui mi sta facendo diventare pazzo!