Derivate
Sappiamo che la derivata y' di y =f(x) corrisponde all'incremento di y all'aumentare di x di 1. Già questo, è corretto? Se sì, perchè matematicamente non mi viene? se calcolo vedo che la y non cresce esattamente di y' al variare di 1 unità di x. Perchè?
Mi spiego con un esempio: y = x^2 ; y' = 2x
da x = 2 a x = 3 , y si sposta da 4 a 9 quindi di 5 --> y(3)-y(2) = 5
però y' con x = 3 è 6 --> y'(3) = 6
Perchè non coincidono?
Grazie a tutti
Mi spiego con un esempio: y = x^2 ; y' = 2x
da x = 2 a x = 3 , y si sposta da 4 a 9 quindi di 5 --> y(3)-y(2) = 5
però y' con x = 3 è 6 --> y'(3) = 6
Perchè non coincidono?
Grazie a tutti
Risposte
La derivata in un punto non è il rapporto incrementale di \( y \) all'aumentare di \(x \) di 1.
Sostanzialmente quello che stai dicendo è che la derivata di \( f \) in \( x \) è
\[ f'(x) = \frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x} = f(x+1)-f(x) \]
e questo è falso in generale.
La derivata di \( f \) in \( x \) è
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Che sono due cose differenti. Prendendo il tuo esempio puoi notare come
\[ f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2-3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3^2+6h+h^2-3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h+h^2}{h} = 6 \]
infatti
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} = 2x \]
Ma come giustamente fai notare te, se prendi
\[ f'(3) \neq \frac{f(3+1)-f(3)}{(3+1)-3} = f(3+1)-f(3)= 16 - 9 = 7 \]
Sostanzialmente quello che stai dicendo è che la derivata di \( f \) in \( x \) è
\[ f'(x) = \frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x} = f(x+1)-f(x) \]
e questo è falso in generale.
La derivata di \( f \) in \( x \) è
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Che sono due cose differenti. Prendendo il tuo esempio puoi notare come
\[ f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2-3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3^2+6h+h^2-3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h+h^2}{h} = 6 \]
infatti
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} = 2x \]
Ma come giustamente fai notare te, se prendi
\[ f'(3) \neq \frac{f(3+1)-f(3)}{(3+1)-3} = f(3+1)-f(3)= 16 - 9 = 7 \]
@3m0o
[ot]Ok, però se gli dicevi anche che la derivata è un limite era meglio
Battute a parte, sei molto preciso però quando si spiega qualcosa, a mio modo di vedere, è importante evidenziare gli aspetti cruciali del fenomeno che si sta trattando
Sempre IMHO, ovviamente …[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Ok, però se gli dicevi anche che la derivata è un limite era meglio
Battute a parte, sei molto preciso però quando si spiega qualcosa, a mio modo di vedere, è importante evidenziare gli aspetti cruciali del fenomeno che si sta trattando
Sempre IMHO, ovviamente …[/ot]
Cordialmente, Alex
Ah ecco allora sbagliavo in principio,
Ti ringrazio molto!
Fusta
Ti ringrazio molto!
Fusta
"axpgn":
@3m0o
[ot]Ok, però se gli dicevi anche che la derivata è un limite era meglio
Battute a parte, sei molto preciso però quando si spiega qualcosa, a mio modo di vedere, è importante evidenziare gli aspetti cruciali del fenomeno che si sta trattando
Sempre IMHO, ovviamente …[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Hai ragione, avrei dovuto evidenziarlo.
[/ot]
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