Derivata seconda con esponenziale e logaritmo

[FemtoGinny]

Buonasera ragazzi! Data la derivata prima di una funzione $ f'(x)=(e^(1/(ln(x)))(ln^2(x)-1))/ln^2(x) $ devo calcolarne la derivata seconda. Il mio procedimento (non so se giusto) è stato quello di calcolare la derivata delle due funzioni composte a numeratore e ottenere cosi $ f''(x)= (-1/(ln^2(x))(ln^2-1)+(e^(1/ln(x)))((2ln(x))/x))/(ln^2(x))^2 $ tuttavia non so come procedere, anche perchè per l'appunto non sono sicura della correttezza del mio risultato finora.. potreste darmi una mano? Grazie mille ^^

[andar9896]

Riprova a fare con più attenzione la derivata di $e^(1/logx)$

[@melia]

Sei sicura che la derivata prima sia corretta? Perché non posti direttamente la funzione?

[FemtoGinny]

Eccomi! La funzione originale è $ f(x)=xe^(1/(ln(x))) $

[igiul1]

La derivata prima è corretta, nella seconda c'è qualcosa che non va. Prova a calcolarla con la derivata prima scritta così:

$f'(x)=e^(1/(lnx))(1-1/(ln^2(x)))$

[FemtoGinny]

Fatto! Ottengo $ f''(x)=(-(e^(1/ln(x)))/(xln^2(x)))(1-1/ln^2(x))+(e^(1/ln(x)))(2/(xln^3(x))) $ e di nuovo, vicolo cieco...

[igiul1]

Il calcolo è corretto. Raccogli a fattor comune l'esponenziale e fai ciò che è possibile (mcm ...) per scriverla in forma più compatta.

P.S. Non so se devi solo calcolare la derivata seconda o fare anche altro.

[FemtoGinny]

Ottengo $ e^(1/ln(x))((-1+xln^2(x)-x)/xln^2(x)+2/(xln^3(x))) $ credo che non si possa andare più avanti di così, o sbaglio? Devo anche calcolare i punti dove la derivata seconda si annulla, quindi sperando che il mio calcolo sia giusto so che l'esponenziale è sempre positivo e lo escludo, passando soltanto ai due addendi, e sapendo che una funzione è nulla quando è nullo il suo denominatore, passo a calcolare soltanto i numeratori....ho calcolato/detto numerose baggianate?

[igiul1]

"FemtoGinny":Fatto! Ottengo $ f''(x)=(-(e^(1/ln(x)))/(xln^2(x)))(1-1/ln^2(x))+(e^(1/ln(x)))(2/(xln^3(x))) $ e di nuovo, vicolo cieco...

$f''(x)=e^(1/ln^x)(-1/(xln^2x)+1/(xln^4x)+2/(xln^3x))$

$f''(x)=e^(1/ln^x)((-ln^2x+1+2lnx)/(xln^4x))$

$f''(x)=0$ ==> $ln^2x-2lnx-1=0$

da cui $lnx=1+-sqrt2$

e poi:

$x=e^(1+-sqrt2)$

[FemtoGinny]

Fantastico! Da sola non avrei saputo procedere, grazie!