Derivata seconda che non si semplifica!
Mentre stavo svolgendo i miei esercizi pomeridiani sugli integrali, mi dico: ma perchè per tenermi allenato non mi studio una funzione logaritmica??????? Beh! dai pensieri ai fatti.
Inizio lo studio della funzione, tutto ok fino alla derivata prima $ y'= (log^2x+1)/(x(1-log^2x)^2) $ , dallo studio del segno esce come mi aspettavo, ma i problemi sorgono quando inizio a studiare un'eventuale presenza di punti di flesso, svolgendo la derivata seconda mi trovo una funzione finale di questo tipo: $ y''=(log^4x+2log^3x+6logx-1)/(x(1-log^2x)^3) $ evidentemente avrei potuto fare qualche semplificazione in precedenza, ma ritornandoci diverse volte non riesco a trovare il modo di semplificarla tranne per un (1-log^2x) al numeratore che mi ha permesso di abbassare di un grado quello del denominatore. Vi chiedo aiuto, davvero non riesco ad uscirmene........
Ah dimenticavo....... la funzione primitiva è $ y=(logx)/(1-log^2x) $ Grazie.
Inizio lo studio della funzione, tutto ok fino alla derivata prima $ y'= (log^2x+1)/(x(1-log^2x)^2) $ , dallo studio del segno esce come mi aspettavo, ma i problemi sorgono quando inizio a studiare un'eventuale presenza di punti di flesso, svolgendo la derivata seconda mi trovo una funzione finale di questo tipo: $ y''=(log^4x+2log^3x+6logx-1)/(x(1-log^2x)^3) $ evidentemente avrei potuto fare qualche semplificazione in precedenza, ma ritornandoci diverse volte non riesco a trovare il modo di semplificarla tranne per un (1-log^2x) al numeratore che mi ha permesso di abbassare di un grado quello del denominatore. Vi chiedo aiuto, davvero non riesco ad uscirmene........
Ah dimenticavo....... la funzione primitiva è $ y=(logx)/(1-log^2x) $ Grazie.
Risposte
Ottengo il tuo stesso risultato. Capita abbastanza spesso che per la derivata seconda si ottengano equazioni non facilmente risolubili; in questi casi di solito ci si limita a non studiare concavità e flessi ed a fare il disegno basandosi sugli altri elementi. Se proprio si vuole trovare i flessi (ma nei casi difficili lo si fa solo su esplicita richiesta), si ricorre alla soluzione approssimata dell'equazione incriminata. Ovvio, prima si controlla bene di non aver sbagliato nell'ottenerla: è estremamente improbabile che in un compito si assegnino esercizi del genere.
Ah ok Grazie. Come potrei giustificare un'eventuale omissione dello studio della concavità? In questo modo il grafico non si allontanerà però da essere diciamo "altamente probabile"? non dovrei scrivere in un eventuale compito che data l'elevata difficoltà nel risolvere l'equazione del numeratore di y'' lo studio della funzione termina alla derivata prima e che quindi il grafico rispecchia solo i dati trovati fino a quel punto?
Il metodo più sicuro è chiedere al professore se occorre fare quello studio; se la risposta e "No" non si calcola neanche y". Alcuni insegnanti si accordano con i loro allievi per farlo solo su esplicita richiesta: se i dati precedentemente trovati sono abbastanza numerosi, il grafico risulta ben fatto e quindi "altamente probabile" anche senza lo studio della concavità. In qualche compito d'esame ho trovato questa richiesta: sembra implicare che in sua assenza lo studio della concavità può essere omesso.
In mancanza di questo, puoi scrivere la frase che indichi.
In mancanza di questo, puoi scrivere la frase che indichi.
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