Derivata impossibile

[gygabyte017]

Calcolare i punti stazionari della seguente funzione:

$y= sen(x) - 1/2*sen(2x) - 1/3*cos(3x)$

Io mi sono calcolato innanzitutto la derivata:

$y'= cos(x) - cos(2x) + sen(3x)$

E l'ho posta =0 per trovare i punti stazionari

$cos(x) - cos(2x) + sen(3x) = 0$

Ma come risolvo questa equazione?!?!?!?

Grazie

[fireball1]

$sin(3x)=sin(2x+x)=sin(2x)cosx+cos(2x)sinx=2sinxcos^2x+cos^2xsinx-sin^3x=3sinxcos^2x-sin^3x

[gygabyte017]

si ho provato a fare quello che dici, ma mi viene un'equazione mista con seni, e coseni... dovrei forse sostituire con formule parametriche??

[_nicola de rosa]

"gygabyte017":Calcolare i punti stazionari della seguente funzione:

$y= sen(x) - 1/2*sen(2x) - 1/3*cos(3x)$

Io mi sono calcolato innanzitutto la derivata:

$y'= cos(x) - cos(2x) + sen(3x)$

E l'ho posta =0 per trovare i punti stazionari

$cos(x) - cos(2x) + sen(3x) = 0$

Ma come risolvo questa equazione?!?!?!?

Grazie

vedi post sotto

[_nicola de rosa]

"gygabyte017":Calcolare i punti stazionari della seguente funzione:

$y= sen(x) - 1/2*sen(2x) - 1/3*cos(3x)$

Io mi sono calcolato innanzitutto la derivata:

$y'= cos(x) - cos(2x) + sen(3x)$

E l'ho posta =0 per trovare i punti stazionari

$cos(x) - cos(2x) + sen(3x) = 0$

Ma come risolvo questa equazione?!?!?!?

Grazie

Prostaferesi:
$cosx-cos2x=-2sin((x+2x)/2)sin((x-2x)/2)=2sin(3/2x)sin(x/2)$
e ricordando che $sin3x=2sin(3/2x)cos(3/2x)$ allora
$cos(x) - cos(2x) + sen(3x) = 0$ $<=>$ $2sin(3/2x)sin(x/2)+2sin(3/2x)cos(3/2x)=0$ $<=>$ $2sin(3/2x)(sin(x/2)+cos(3/2x))=0$
Ora sempre per prostaferesi
$sin(x/2)+cos(3/2x)=cos(3/2x)+cos(pi/2-x/2)=2cos((3/2x+pi/2-x/2)/2)cos((3/2x-pi/2+x/2)/2)=2cos(x/2+pi/4)cos(x-pi/4)$
Per cui
$2sin(3/2x)(sin(x/2)+cos(3/2x))=0$ $<=>$ $2sin(3/2x)*2cos(x/2+pi/4)cos(x-pi/4)=0$ da cui
$sin(3/2x)=0$ $<=>$ $3/2x=kpi$
$cos(x/2+pi/4)=0$ $<=>$ $x/2+pi/4=pi/2+kpi$
$cos(x-pi/4)=0$ $<=>$ $ x-pi/4=pi/2+kpi$ cioè le soluzioni sono
$x=2/3kpi$ U $x=pi/2+2kpi$ U $x=(3pi)/4+kpi$

salvo errori

[gygabyte017]

Perfetto i risultati vengono, ma mi sembrava più facile!

Grazie 1000 (pensa che nemmeno la prof c'è riuscita... aveva cominciato a svolgere per ricondurre tutto a seno e coseno ma non veniva...)

[fireball1]

Bravo nicasamarciano...
Tra l'altro le formule di prostaferesi (in particolare
quelle che esprimono la differenza tra due
seni o due coseni) possono essere utili
in Analisi, per studiare convergenze di integrali
impropri, quali ad esempio questo, proposto
all'esame a settembre l'anno scorso:
$int_0^1 ((sin1-sinx)tanx)/((1-x)^2(-log^beta(1-x))+x^2(1-arctanx)^2) dx
al variare di $beta in RR$, impossibile farlo senza formule di prostaferesi.