Derivata e Integrale
Non ho trattato ancora questo argomenti, adesso sto studiando la Trigonometria Vettori e numeri complessi, pero' in Fisica mi sono trovato nello studio di dei Vettori, con la definizione data dal testo, della Derivata e dell'Integrale!
Non ho capito il loro significato e nemmeno a cosa servono, ma come potrebbero essere spiegate ad un poveraccio come me che ancora non le ha trattate? Giusto per capire come si opera senza andare in fondo all'argomento
Vi ringrazio anticipatamente!
Es. cio' che ho trovato scritto per la derivata e' questo:
$ (dB)/dt=lim_(Delta ->0) (B(t+Delta t)- B(t))/(Delta t) $
Vorrei capire il significato, giusto per quello che mi serve, senza andare in fondo all'argomento!
Non ho capito il loro significato e nemmeno a cosa servono, ma come potrebbero essere spiegate ad un poveraccio come me che ancora non le ha trattate? Giusto per capire come si opera senza andare in fondo all'argomento
Vi ringrazio anticipatamente!
Es. cio' che ho trovato scritto per la derivata e' questo:
$ (dB)/dt=lim_(Delta ->0) (B(t+Delta t)- B(t))/(Delta t) $
Vorrei capire il significato, giusto per quello che mi serve, senza andare in fondo all'argomento!
Risposte
hai intrapreso il concetto di limite?
"Kashaman":
hai intrapreso il concetto di limite?
No, ancora no!
Un mio amico mi ha detto che esiste un modo piu' elementare per effettuare il calcolo con quella formula, ma non abbiamo avuto modo di parlare e dunque non so di cosa si tratta! Alternativamente al simbolo di limite..., come si puo' effettuare un calcolo....
Alla fine a me sembra che ci sia una differenza al numeratore e una al denominatore!?!?!
Grazie!
Provo a spiegartelo io se ci riesco, con una spiegazione abbastanza intuitiva. Sarà anche un poco generalizzata così potrai riciclarla ogni volta che ti servirà.
Nel tuo caso stai studiando una certo fenomeno fisico misurando una certa grandezza che hai indicato con $B$. Puoi immaginare di disporre di uno strumento di misura così sofisticato che ti permette di misurare istantaneamente la grandezza fisica $B$ al punto tale da poter rappresentare tale grandezza su un grafico come se fosse una funzione reale di variabile reale e continua nella variabile tempo $t$. In tal modo disponi del grafico la funzione $B(t)$ che descrive l'andamento temporale della grandezza $B$. Ora, come è noto, spesso il rapporto tra la variazione di una certa grandezza fisica, e l'intervallo di tempo in cui la variazione stessa di tale grandezza avviene è a sua volta una nuova grandezza fisica di particolare interesse applicativo ed è quello che a te interessa studiare. Ora, indipendentemente dal fatto che tu conosca esplicitamente o meno l'espressione analitica di $B(t)$ puoi ugualmente calcolarne il tasso di variazione medio. Se vai a scegliere un certo istante $t_0$ ed un generico istante $t$, in corrispondenza di tali valori ottieni $B(t_0)$ e $B(t)$ e conseguentemente, puoi rappresentare sopra il grafico della funzione $B(t)$ questi due punti che possiamo chiamare $P_0(t_0, B(t_0))$ e $P(t,B(t))$. Volendo, possiamo pensare di scrivere $t = t_0 + h$ ove $h$ rappresenta il cosiddetto incremento finito della variabile $t$. Se adesso vai a scriverti l'equazione della retta passante per $P_0$ e $P$, il suo coefficiente angolare rappresenta il tasso di variazione medio di $B$ nell'intervallo di tempo $\Delta t = h$. Questo però, come ho detto prima, è un tasso di variazione medio. Sarebbe molto più interessante poter disporre di un tasso di variazione istantaneo. Puoi dunque pensare di ridurre il valore di $h$ e se vai a guardarti il grafico mentre lo fai, al decrescere di $h$ i due punti $P_0$ e $P$ si avvicinano sempre più e in tal modo ottieni un tasso di variazione sempre più preciso [perché relativo ad un intervallo di tempo sempre più piccolo].
Se la grandezza $B(t)$ si evolve nel tempo con una certa regolarità ovvero se aumenta o diminuisce nel tempo con continuità ovvero "non ha dei salti" puoi pensare di far tendere $h$ al valore di $0$. In tal modo, "rendi nullo l'intervallo di tempo" $\Delta t$ ed ottieni una retta tangenge al grafico della funzione $B(t)$ nel punto $P_0(t_0, B(t_0))$. Il coefficiente angolare di questa retta tangente rappresenta il tasso di variazione istantaneo della grandezza $B(t)$.
Spero di averti dato un'interpretazione euristica comprensibile della formula che hai scritto tu.
EDIT: ho corretto alcuni errori di battitura.
Nel tuo caso stai studiando una certo fenomeno fisico misurando una certa grandezza che hai indicato con $B$. Puoi immaginare di disporre di uno strumento di misura così sofisticato che ti permette di misurare istantaneamente la grandezza fisica $B$ al punto tale da poter rappresentare tale grandezza su un grafico come se fosse una funzione reale di variabile reale e continua nella variabile tempo $t$. In tal modo disponi del grafico la funzione $B(t)$ che descrive l'andamento temporale della grandezza $B$. Ora, come è noto, spesso il rapporto tra la variazione di una certa grandezza fisica, e l'intervallo di tempo in cui la variazione stessa di tale grandezza avviene è a sua volta una nuova grandezza fisica di particolare interesse applicativo ed è quello che a te interessa studiare. Ora, indipendentemente dal fatto che tu conosca esplicitamente o meno l'espressione analitica di $B(t)$ puoi ugualmente calcolarne il tasso di variazione medio. Se vai a scegliere un certo istante $t_0$ ed un generico istante $t$, in corrispondenza di tali valori ottieni $B(t_0)$ e $B(t)$ e conseguentemente, puoi rappresentare sopra il grafico della funzione $B(t)$ questi due punti che possiamo chiamare $P_0(t_0, B(t_0))$ e $P(t,B(t))$. Volendo, possiamo pensare di scrivere $t = t_0 + h$ ove $h$ rappresenta il cosiddetto incremento finito della variabile $t$. Se adesso vai a scriverti l'equazione della retta passante per $P_0$ e $P$, il suo coefficiente angolare rappresenta il tasso di variazione medio di $B$ nell'intervallo di tempo $\Delta t = h$. Questo però, come ho detto prima, è un tasso di variazione medio. Sarebbe molto più interessante poter disporre di un tasso di variazione istantaneo. Puoi dunque pensare di ridurre il valore di $h$ e se vai a guardarti il grafico mentre lo fai, al decrescere di $h$ i due punti $P_0$ e $P$ si avvicinano sempre più e in tal modo ottieni un tasso di variazione sempre più preciso [perché relativo ad un intervallo di tempo sempre più piccolo].
Se la grandezza $B(t)$ si evolve nel tempo con una certa regolarità ovvero se aumenta o diminuisce nel tempo con continuità ovvero "non ha dei salti" puoi pensare di far tendere $h$ al valore di $0$. In tal modo, "rendi nullo l'intervallo di tempo" $\Delta t$ ed ottieni una retta tangenge al grafico della funzione $B(t)$ nel punto $P_0(t_0, B(t_0))$. Il coefficiente angolare di questa retta tangente rappresenta il tasso di variazione istantaneo della grandezza $B(t)$.
Spero di averti dato un'interpretazione euristica comprensibile della formula che hai scritto tu.
EDIT: ho corretto alcuni errori di battitura.
Ecco, dimenticavo, in matematica viene chiamata derivata questo tasso di variazione istantaneo. La derivata è ovviamente una nuova funzione, sempre nella variabile $t$ che descrive l'andamento del tasso di variazione in funzione del tempo.
Sei stato gentilissimo e veramente chiaro, non so come ringraziarti 
Adesso, svolgo tutti i passaggi algebrici che hai detto in modo chiaro, così vediamo se ho compreso perfettamente l'idea...
Questa è la formula:
$ (dB)/dt=lim_(Delta ->0) (B(t+Delta t)- B(t))/(Delta t) $
Nella formula, compaiono:
$ B= $ Grandezza fisica
$ t= $ Variabile (tempo)
Grafico della funzione.
Il grafico della funzione è il classico $ f(x)=y $ che in questo caso, possiamo chiamare $ B(t)=y $
Scelgo un intervallo di tempo $ t $
$ t_0 = $ Tempo scelto
$ t_1 = $ Generico istante
In corrispondenza di questi valori $ t^^t_0 $ , avremo le seguenti $ y^^y_0 $ , dati da $B(t)=y$ e $B(t_0)=y_0$ , quindi sappiamo che sul grafico della funzione che andremo a costruire, abbiamo che le $ x $ sono date da $ t=x^^t_0=x_0 $
Fisso due punti
Detto questo, abbiamo delle coordinate e possiamo fissare due punti, dati da:
$P(t,B(t))=>P(x,y)$
$P_0(t_0, B(t_0))=>P_0(x_0,y_0)$
Incremento di $ t $
Ovviamente il tempo trascorso è dato da:
$ t=t_0 +h $
$ t-t_0= h =>Delta t=h$
N.B. Ricordare sempre che si sta quantificando la grandezza $ B $ in un intervallo di tempo $ t $, quindi abbiamo:
$ t= $ Tempo finale
$ t_0= $ Tempo iniziale
$ h= $ Incremento temporale
Sviluppo grafico della funzione, utilizzo equazione della retta.
Ricordare che l'equazione della retta è la seguente:
Equazione generica della retta:
$ y=mx $
che porta a:
$ y-y_1=m(x-x_1) $
Con coefficiente angolare.
$ m=(y-y_1)/(x-x_1) $
N.B. Il coefficiente angolare rappresenta il tasso di variazione medio di $B$ nell'intervallo di tempo $\Delta t = h$
Si arriva alla equazione della retta passante per due punti.
$ (x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1) $
La retta passerà per i punti $ P_0^^P $
Scrivo l'equazione della retta passante per $ P_0^^P $.
Sapendo che:
$P_0(t_0, B(t_0))=>P_0(x_0,y_0)$
$P(t,B(t))=>P(x,y)$
Allora:
$ (x-t_0)/(t-t_0)=(y-B_(t0))/(B_t-B_(t0)) $
La retta risultante, ci da il tasso di variazione medio. Sarebbe molto più interessante poter disporre di un tasso di variazione istantaneo.Si riduce il valore di $h$ e quindi si riduce l'intervallo di tempo $Delta t$, al decrescere di $h$ i due punti $P_0$ e$ P$ si avvicinano sempre più e in tal modo ottieni un tasso di variazione sempre più preciso [perché relativo ad un intervallo di tempo sempre più piccolo].
Ecco il grafico:
Ho compreso tutto correttamente Oppure devo correggere qualcosa
Insomma, invece di utilizzare subito la formula
$ (dB)/dt=lim_(Delta ->0) (B(t+Delta t)- B(t))/(Delta t) $
posso svolgere tutti questi passaggi e arrivo alla stessa conclusione
Grazie mille!
Adesso, svolgo tutti i passaggi algebrici che hai detto in modo chiaro, così vediamo se ho compreso perfettamente l'idea...
Questa è la formula:
$ (dB)/dt=lim_(Delta ->0) (B(t+Delta t)- B(t))/(Delta t) $
Nella formula, compaiono:
$ B= $ Grandezza fisica
$ t= $ Variabile (tempo)
Grafico della funzione.
Il grafico della funzione è il classico $ f(x)=y $ che in questo caso, possiamo chiamare $ B(t)=y $
Scelgo un intervallo di tempo $ t $
$ t_0 = $ Tempo scelto
$ t_1 = $ Generico istante
In corrispondenza di questi valori $ t^^t_0 $ , avremo le seguenti $ y^^y_0 $ , dati da $B(t)=y$ e $B(t_0)=y_0$ , quindi sappiamo che sul grafico della funzione che andremo a costruire, abbiamo che le $ x $ sono date da $ t=x^^t_0=x_0 $
Fisso due punti
Detto questo, abbiamo delle coordinate e possiamo fissare due punti, dati da:
$P(t,B(t))=>P(x,y)$
$P_0(t_0, B(t_0))=>P_0(x_0,y_0)$
Incremento di $ t $
Ovviamente il tempo trascorso è dato da:
$ t=t_0 +h $
$ t-t_0= h =>Delta t=h$
N.B. Ricordare sempre che si sta quantificando la grandezza $ B $ in un intervallo di tempo $ t $, quindi abbiamo:
$ t= $ Tempo finale
$ t_0= $ Tempo iniziale
$ h= $ Incremento temporale
Sviluppo grafico della funzione, utilizzo equazione della retta.
Ricordare che l'equazione della retta è la seguente:
Equazione generica della retta:
$ y=mx $
che porta a:
$ y-y_1=m(x-x_1) $
Con coefficiente angolare.
$ m=(y-y_1)/(x-x_1) $
N.B. Il coefficiente angolare rappresenta il tasso di variazione medio di $B$ nell'intervallo di tempo $\Delta t = h$
Si arriva alla equazione della retta passante per due punti.
$ (x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1) $
La retta passerà per i punti $ P_0^^P $
Scrivo l'equazione della retta passante per $ P_0^^P $.
Sapendo che:
$P_0(t_0, B(t_0))=>P_0(x_0,y_0)$
$P(t,B(t))=>P(x,y)$
Allora:
$ (x-t_0)/(t-t_0)=(y-B_(t0))/(B_t-B_(t0)) $
La retta risultante, ci da il tasso di variazione medio. Sarebbe molto più interessante poter disporre di un tasso di variazione istantaneo.Si riduce il valore di $h$ e quindi si riduce l'intervallo di tempo $Delta t$, al decrescere di $h$ i due punti $P_0$ e$ P$ si avvicinano sempre più e in tal modo ottieni un tasso di variazione sempre più preciso [perché relativo ad un intervallo di tempo sempre più piccolo].
Ecco il grafico:
Ho compreso tutto correttamente
Oppure devo correggere qualcosa Insomma, invece di utilizzare subito la formula
$ (dB)/dt=lim_(Delta ->0) (B(t+Delta t)- B(t))/(Delta t) $
posso svolgere tutti questi passaggi e arrivo alla stessa conclusione
Grazie mille!
"Bad90":Non si vede
Ecco il grafico:
"Bad90":Quella formula [il primo membro è semplicemente un SIMBOLO ] racchiude in se il ragionamento che ho fatto io. Svolgendo i calcoli da te impostati dovresti ritrovare la stessa formula. Ti ricordo che tu non conosci l'espressione analitica di $B(t)$ e che pertanto qualunque cosa vai a mettergli detro [al posto di $t$] non puoi fare nessun conto. Il conto che fai è quello di calcolare il limite del rapporto incrementale [però forse tu non sai ancora come si calcola un limite].
Insomma, invece di utilizzare subito la formula
$ (dB)/dt=lim_(Delta ->0) (B(t+Delta t)- B(t))/(Delta t) $
posso svolgere tutti questi passaggi e arrivo alla stessa conclusione
Grazie mille!
Forse prima mi sono dimenticato di dirti che quel tasso di variazione medio [questa è più una dicitura da fisico] in matematica viene chiamato rapporto incrementale.
Magari è ancora troppo prematuro consigliartela perché non sei ancora del tutto pronto ma forse potrà anche esserti utile questa dispensa
Adesso studio quella dispensa e ti ringrazio vivamente per avermela resa, 
anche se è ancora prematuro Comunque sia mi sembra che tutti i passaggi che ho fatto, siano stati replicati in modo corretto, giusto
Adesso mi chiedo, anche se non conosco il calcolo differenziale, se conosco quei passaggi che ho replicato, penso posso risolvere un eventuale problema, giusto
Il prof. di fisica, mi ha detto che per superare l'esame di Fisica 1, non c'è bisogno necessariamente di conoscere una derivata o un integrale, perchè all'esame non viene chiesto, tutto al più serve per comprendere meglio la teoria
Se mi ha detto questo, significa che potrò risolvere un esercizio anche se non conosco una derivata, giusto
e ti ringrazio vivamente per avermela resa, anche se è ancora prematuro Comunque sia mi sembra che tutti i passaggi che ho fatto, siano stati replicati in modo corretto, giusto Adesso mi chiedo, anche se non conosco il calcolo differenziale, se conosco quei passaggi che ho replicato, penso posso risolvere un eventuale problema, giusto
Il prof. di fisica, mi ha detto che per superare l'esame di Fisica 1, non c'è bisogno necessariamente di conoscere una derivata o un integrale, perchè all'esame non viene chiesto, tutto al più serve per comprendere meglio la teoria
Se mi ha detto questo, significa che potrò risolvere un esercizio anche se non conosco una derivata, giusto
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