Derivata di funzione inversa

[gabriello47]

data la funzione $y=8-27ln^3(2+x)$ calcolare la derivata della funzione inversa nel punto corrispondente a $x=1$.
La risposta della prof è:

$-1/(27ln^2(3))$

cioè quella che si ottiene da:

$1/(y'(3))$

a me non pare corretto, ma la verifica mi porta a calcoli mostruosi.
Aspetto il parere del geniaccio di turno.
ciao

[alberto.chiarini]

Per essere corretto è corretto. Sotto certe ipotesi (ovvero $f$ biettiva, $f$ derivabile in $x_0$) se $f(x_0)=y_0$ allora $D[f^((-1))](y_0)=1/(f'(x_0))$.

[gabriello47]

dici bene: SE $f(x_0)=y_0$ è proprio questa verifica che non mi viene.
Tu l'hai calcolata?
grazie

[alberto.chiarini]

il punto corrispondente a $x=1$ è $8-27ln^3(3)$ la $D[f^((-1))][8-27ln^3(3)]=1/(f'(1))$. Non è quella che si ottiene da $1/(y'(3))$ ma da $1/(y'(1))$

Se proprio vuoi verificare che è effettivamente è così devi calcolarti l'inversa che è bruttissima; $x=e^((8-y)^(1/3)/3)-2$
la cui derivata è $-(e^((8-y)^(1/3)/3))/(9(8-y)^(2/3))$ che in $8-27ln^3(3)$ vale $-1/(27ln^2(3))$