Derivata di funzione con derivata continua: f(x)=x|x|
Salve a tutti, sono nuovo in questo sito! Vorrei sottoporvi un problema che non sono sicuro di essere riuscito a risolvere.
Ho trovato in un test del 2007 per l'ammissione alla SISS la seguente funzione$ f(x)=x|x| $; tra le quattro risposte possibili in merito a tale funzione quella giusta era: la $ f(x)$ è derivabile, la derivata è continua ma non derivabile in $x=0$.
Io non capisco questa risposta; infatti, escludendo i punti a tangente orizzontale dove non esiste la derivata (e cmq non è il caso di questa funzione in $x=0$), come può esistere una funzioe con derivata continua ma non derivabile in un punto? La derivata infatti, per definizione, esiste se esiste finito il limite del rapporto incrementale, dunque essendo la funzione derivata continua, per definizione stessa di continuità, ammette limite e il limite in questo caso è finito.
Passando ai calcoli la $f'(x) = 2\sqrt{x^2}$ ammette in $x=0$ limite destro e sinistro uguali a zero, ovvero $ \lim_{x \rightarrow 0} \ 2\sqrt{x^2} = 0$,
dunque a me questa funzione sembrerebbe derivabilissima in $x=0$. Aiutatemi voi se ravvisate qualche errore nel mio ragionamento.
Ho trovato in un test del 2007 per l'ammissione alla SISS la seguente funzione$ f(x)=x|x| $; tra le quattro risposte possibili in merito a tale funzione quella giusta era: la $ f(x)$ è derivabile, la derivata è continua ma non derivabile in $x=0$.
Io non capisco questa risposta; infatti, escludendo i punti a tangente orizzontale dove non esiste la derivata (e cmq non è il caso di questa funzione in $x=0$), come può esistere una funzioe con derivata continua ma non derivabile in un punto? La derivata infatti, per definizione, esiste se esiste finito il limite del rapporto incrementale, dunque essendo la funzione derivata continua, per definizione stessa di continuità, ammette limite e il limite in questo caso è finito.
Passando ai calcoli la $f'(x) = 2\sqrt{x^2}$ ammette in $x=0$ limite destro e sinistro uguali a zero, ovvero $ \lim_{x \rightarrow 0} \ 2\sqrt{x^2} = 0$,
dunque a me questa funzione sembrerebbe derivabilissima in $x=0$. Aiutatemi voi se ravvisate qualche errore nel mio ragionamento.
Risposte
"La derivata è continua, ma non derivabile in $x=0$".
Significa che la funzione è continua e derivabile, la derivata prima è continua, la derivata seconda NON è continua.
Significa che la funzione è continua e derivabile, la derivata prima è continua, la derivata seconda NON è continua.
Hai ragione! Hai usato la logica più di me! Certo la risposta al test, per come era sritta, invitava un po' all'errore!
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