Derivata di esponenziale...domanda

[Ecce]

Nel mio libro di testo nella trattazione della derivate di esponenziali trovo questo passaggio

[math]\lim_{h \to \0}\frac{a^h-1}{h}=log_ea[/math]

Qualcuno mi può spiegare perchè questa cosa è vera?

[ciampax]

Quello che hai scritto è un limite notevole. Parti da qui

[math]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/math]

e opera la sostituzione

[math]t=\frac{1}{x}[/math]

, da cui

[math]\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e[/math]

Se prendi i logaritmi in base

[math]a[/math]

ad ambo i membri ottieni

[math]\lim_{t\to 0}\log_a(1+t)^{1/t}=\log_a e[/math]

Ricorda le due seguenti proprietà dei logaritmi

[math]\log_a x^y=y\cdot\log_a x,\qquad \log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}[/math]

per cui

[math]\lim_{t\to 0}\frac{\log_a(1+t)}{t}=\frac{\log_e e}{\log_e a}=\frac{1}{\log_e a}[/math]

Poiché poi se

[math]\lim f(x)=\ell[/math]

allora

[math]\lim\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\ell}[/math]

avrai pure

[math]\lim_{t\to 0}\frac{t}{\log_a(1+t)}=\log_e a[/math]

Se ora poni

[math]h=\log_a(1+t)[/math]

allora si ha pure

[math]1+t=a^h[/math]

e quindi

[math]t=a^h-1[/math]

. Inoltre per

[math]t\to 0,\ h=\log_a(1+0)=0[/math]

, da cui il limite

[math]\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\log_e a[/math]

Fatto. Se hai problemi chiedi.