Derivata della funzione inversa
Come si potrebbe risolvere questo esercizio:
Data la funzione $f(x)=e^x+cosx$ verificare che la funzione è invertibile in un certo intervallo, e trovare che valore assume la derivata della funzione inversa nel punto $x=1$
Grazie!
Data la funzione $f(x)=e^x+cosx$ verificare che la funzione è invertibile in un certo intervallo, e trovare che valore assume la derivata della funzione inversa nel punto $x=1$
Grazie!
Risposte
magari un grafico qualitativo di f(x) potrebbe aiutarti per trovare l'intervallo di invertibilità
Sicuro che non sia ad esempio $x=2$ il punto
in cui calcolare l'inversa? Comunque prima
scegliamo un intervallo di invertibilità...
Poiché $f$ è somma di una funzione strettamente
crescente per ogni $x in RR$, cioè $e^x$, e
di una funzione strettamente crescente in $[-pi,0]$
ad esempio, quale è $cosx$, la funzione somma
$e^x+cosx$ risulterà strettamente crescente
in $[-pi,0]$ e dunque sarà ivi invertibile.
Ora, se ci fosse un errore nel testo e il punto
in cui calcolare la derivata dell'inversa fosse $x=2$,
allora la prima cosa da fare sarebbe determinare $x in [-pi,0]$ tale che $f(x)=2$. Si vede immediatamente
che $f(0)=2$. Allora la derivata dell'inversa sarà:
$(f^-1)'(2)=1/(f'(0)) = 1
in cui calcolare l'inversa? Comunque prima
scegliamo un intervallo di invertibilità...
Poiché $f$ è somma di una funzione strettamente
crescente per ogni $x in RR$, cioè $e^x$, e
di una funzione strettamente crescente in $[-pi,0]$
ad esempio, quale è $cosx$, la funzione somma
$e^x+cosx$ risulterà strettamente crescente
in $[-pi,0]$ e dunque sarà ivi invertibile.
Ora, se ci fosse un errore nel testo e il punto
in cui calcolare la derivata dell'inversa fosse $x=2$,
allora la prima cosa da fare sarebbe determinare $x in [-pi,0]$ tale che $f(x)=2$. Si vede immediatamente
che $f(0)=2$. Allora la derivata dell'inversa sarà:
$(f^-1)'(2)=1/(f'(0)) = 1
Quindi dici di risolverlo per via grafica?? Perchè credo che debba essere risolto per via algebrica, quindi ho pensato:
Una funzione è invertibile in un intervallo se in quell'intervallo è monotona. Allora faccio la derivata e studio la crescenza:
$F'(x)=e^x-senx$
$e^x-senx>=0$
Ora però come la risolvo la disequazione mista?
Cmq non sono convinto di questo metodo....
Una funzione è invertibile in un intervallo se in quell'intervallo è monotona. Allora faccio la derivata e studio la crescenza:
$F'(x)=e^x-senx$
$e^x-senx>=0$
Ora però come la risolvo la disequazione mista?
Cmq non sono convinto di questo metodo....
"Reynolds":
Sicuro che non sia ad esempio $x=2$ il punto
in cui calcolare l'inversa? Comunque prima
scegliamo un intervallo di invertibilità...
Poiché $f$ è somma di una funzione strettamente
crescente per ogni $x in RR$, cioè $e^x$, e
di una funzione strettamente crescente in $[-pi,0]$
ad esempio, quale è $cosx$, la funzione somma
$e^x+cosx$ risulterà strettamente crescente
in $[-pi,0]$ e dunque sarà ivi invertibile.
Ora, se ci fosse un errore nel testo e il punto
in cui calcolare la derivata dell'inversa fosse $x=2$,
allora la prima cosa da fare sarebbe determinare $x in [-pi,0]$ tale che $f(x)=2$. Si vede immediatamente
che $f(0)=2$. Allora la derivata dell'inversa sarà:
$(f^-1)'(2)=1/(f'(0)) = 1
Ho capito. Ma quindi
$g'(x)=1/f'(x)$ ?? cioè la derivata dell'inversa è il reciproco della derivata della diretta??
No! Per calcolare la derivata della funzione inversa
in un punto $y_0$ si fa il reciproco di $f'(x)$ CALCOLATA
PERO' IN QUEL PUNTO $x=x_0$ TALE CHE $f(x_0)=y_0$ !
in un punto $y_0$ si fa il reciproco di $f'(x)$ CALCOLATA
PERO' IN QUEL PUNTO $x=x_0$ TALE CHE $f(x_0)=y_0$ !
ahh!! Quindi dire che la derivata della $g(x)$ è $g'(x)=1/(e^x-senx)$ allora è sbagliatissimo!
Eh sì...
"Reynolds":
Eh sì...
Allora la mia compagna di classe ha sbagliato
.Grazie di tutto
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