Derivata del logaritmo

[lepre561]

$ln^2(x^2-1)$
se ci fosse stato il logaritmo normale sarebbe stato banale ma ora quel quadrato cosa implica?

[cooper1]

implica che prima devi derivare la funzione $t^2$ con $t=log(x^2-1)$

[lepre561]

quindi basta mettere il due prima del logaritmo?

[Obidream]

Sì. prendi ad esempio $f(y) = ln^2(y)$.

La sua derivata è:

$f'(y) = (2ln(y))/y$

[Zero87]

Si parla di derivazione di funzione composta, una cosa più difficile da spiegare che da fare.
Per ricordarla in modo efficace si può procedere andando dall'esterno all'interno come in una matrioska.
Si tratta di un ragionamento che poi verrà spontaneo progredendo con gli esercizi.

Te lo dico un po' alla buona, all'atto pratico. Hai

"lepre561":$ ln^2(x^2-1) $

e per avere la derivata della funzione devi derivare a catena tutte le funzioni intermedie dall'esterno verso l'interno (in qualche testo è detta "regola della catena" se non ricordo male).
Ci si può chiedere quale sia l'applicazione più "esterna" - se qualcuno ha un termine migliore da suggerirmi gliene sarei davvero grato - e, in questo caso è il quadrato poiché tutto il logaritmo è elevato al quadrato, perciò la prima cosa da fare è la derivata del quadrato fuori
$D(log^2(x^2-1)) = 2log(x^2-1) \cdot D(log(x^2-1))$
poi si itera il procedimento arrivando fino alla fine. Al secondo passo, l'applicazione più esterna è il logaritmo e si deriva quello, al terzo è l'argomento e... In questo caso finisce qui.

Quello che ho detto alla buona, altri non è che la traduzione della regola di derivazione per le funzioni composte (iterata)
$D(g(f(x))=g'(f(x))f'(x)$



PS. Se credi che io mio intervento ti abbia creato solo confusione, ignoralo e passa oltre.