Derivata a partire dal grafico della funzione
Avevo postato questo problema in altra sezione, ma forse avevo sbagliato.
Non so se qualcuno di voi potrebbe aiutarmi. Comunque ci provo.
Il mio dilemma consiste in questo:
se ho il grafico di una funzione come posso tracciare il grafico della funzione derivata?
Ad esempio se ho il grafico di questa funzione:
Quale sarebbe il grafico della sua derivata?
Allora se avessi avuto l'espressione analitica della funzione mi sarei ricavato la derivata ed avrei tracciato il suo grafico.
Se avessi avuto quanto meno le coordinate dei vari punti presi a caso da dove far passare la retta tangente al grafico allora avrei calcolato il rapporto (y2 - y1) / (x2 - x1) per trovare la pendenza della retta tangente e quel punto trovato lo avrei messo nell'altro grafico (quello della derivata intendo).
Ma non avendo alcun dato se non quello del grafico della funzione come posso fare a disegnare sta benedetta derivata??
Io per adesso mi sono arrangiato così: intanto ho visto in quali intervalli la funzione è crescente ed in quali e decrescente e da lì capisco che nel grafico della funzione derivata la curva sarà sopra l'asse delle x (dove è crescente) e sotto l'asse x (dove è decrescente). Nei punto dove la curva (nel grafico della funzione originaria) cambia da crescente a decrescente (o viceversa) allora nel grafico della derivata intercetta l'asse x in quanto la derivata in quel punto si annulla.
Poi prendo qualche punto della curva del grafico della funzione originaria e traccio con riga la retta tangente alla curva e quindi la parallela all'asse x ed unisco (in pratica la retta tangente sarà l'ipotenusa del triangolo rettangolo non so se mi son fatto capire) e poi mi calcolo (sempre con il righello) quanto è lungo il cateto parallelo all'asse y e quanta è lunga la base (parallela all'asse x) e ne faccio il rapporto per trovare approssimativamente la pendenza che sarà positiva se la curva cresce e negativa se la curva decresce.
A questo punto riporto sul grafico della derivata il punto di coordinate (x= punto in cui passa la retta tangente al grafico della funzione originaria e y= il valore di quella che secondo me è la pendenza).
E' corretto tutto ciò?
Mah... ho qualche dubbio!!!
Non so se qualcuno di voi potrebbe aiutarmi. Comunque ci provo.
Il mio dilemma consiste in questo:
se ho il grafico di una funzione come posso tracciare il grafico della funzione derivata?
Ad esempio se ho il grafico di questa funzione:
Quale sarebbe il grafico della sua derivata?
Allora se avessi avuto l'espressione analitica della funzione mi sarei ricavato la derivata ed avrei tracciato il suo grafico.
Se avessi avuto quanto meno le coordinate dei vari punti presi a caso da dove far passare la retta tangente al grafico allora avrei calcolato il rapporto (y2 - y1) / (x2 - x1) per trovare la pendenza della retta tangente e quel punto trovato lo avrei messo nell'altro grafico (quello della derivata intendo).
Ma non avendo alcun dato se non quello del grafico della funzione come posso fare a disegnare sta benedetta derivata??
Io per adesso mi sono arrangiato così: intanto ho visto in quali intervalli la funzione è crescente ed in quali e decrescente e da lì capisco che nel grafico della funzione derivata la curva sarà sopra l'asse delle x (dove è crescente) e sotto l'asse x (dove è decrescente). Nei punto dove la curva (nel grafico della funzione originaria) cambia da crescente a decrescente (o viceversa) allora nel grafico della derivata intercetta l'asse x in quanto la derivata in quel punto si annulla.
Poi prendo qualche punto della curva del grafico della funzione originaria e traccio con riga la retta tangente alla curva e quindi la parallela all'asse x ed unisco (in pratica la retta tangente sarà l'ipotenusa del triangolo rettangolo non so se mi son fatto capire) e poi mi calcolo (sempre con il righello) quanto è lungo il cateto parallelo all'asse y e quanta è lunga la base (parallela all'asse x) e ne faccio il rapporto per trovare approssimativamente la pendenza che sarà positiva se la curva cresce e negativa se la curva decresce.
A questo punto riporto sul grafico della derivata il punto di coordinate (x= punto in cui passa la retta tangente al grafico della funzione originaria e y= il valore di quella che secondo me è la pendenza).
E' corretto tutto ciò?
Mah... ho qualche dubbio!!!
Risposte
Nel caso specifico ad esempio ho tracciato questo come grafico della derivata della funzione di cui sopra:
ma non penso che sia proprio esatto.
Vi ringrazio comunque per ogni eventuale risposta.
Buona giornata
ma non penso che sia proprio esatto.
Vi ringrazio comunque per ogni eventuale risposta.
Buona giornata
"rollitata":
Io per adesso mi sono arrangiato così: intanto ho visto in quali intervalli la funzione è crescente ed in quali e decrescente e da lì capisco che nel grafico della funzione derivata la curva sarà sopra l'asse delle x (dove è crescente) e sotto l'asse x (dove è decrescente). Nei punto dove la curva (nel grafico della funzione originaria) cambia da crescente a decrescente (o viceversa) allora nel grafico della derivata intercetta l'asse x in quanto la derivata in quel punto si annulla.
Questo va tutto bene.
Io aggiungo:
1) Punti di flesso (mi sembra ce ne siano due: $x=0$ e $x=2$.
In essi la derivata prima ha un Massimo o un Minimo;
2) concavità/convessità. Concavità in alto la f' è crescente, concavità in basso la f' è decrescente.
La derivata prima dovrebbe avere un massimo per $x=2$ e tendere a $0$ a più infinito (l'asse delle $x$ è un asintoto orizzontale).
Dovresti correggere il grafico inserendo um Max in $x=2$, di coordinate... che so $(2,3)$ per esempio, e poi farlo scendere verso l'asse delle ascisse.
grazie igiul.
Allora dovrebbe essere così:
o ho capito male???
Quindi secondo te la parte nella quale:
" prendo qualche punto della curva del grafico della funzione originaria e traccio con riga la retta tangente alla curva e quindi la parallela all'asse x ed unisco (in pratica la retta tangente sarà l'ipotenusa del triangolo rettangolo non so se mi son fatto capire) e poi mi calcolo (sempre con il righello) quanto è lungo il cateto parallelo all'asse y e quanta è lunga la base (parallela all'asse x) e ne faccio il rapporto per trovare approssimativamente la pendenza che sarà positiva se la curva cresce e negativa se la curva decresce.
A questo punto riporto sul grafico della derivata il punto di coordinate (x= punto in cui passa la retta tangente al grafico della funzione originaria e y= il valore di quella che secondo me è la pendenza)"
potrei pure evitarla?? è inutile o è proprio sbagliato io procedimento.
Basta solamente guardare gli intervalli di crescenza e decrescenza, gli eventuali flessi e le concavità per poter tracciare in linea di massima il grafico della derivata?
Grazie
Allora dovrebbe essere così:
o ho capito male???
Quindi secondo te la parte nella quale:
" prendo qualche punto della curva del grafico della funzione originaria e traccio con riga la retta tangente alla curva e quindi la parallela all'asse x ed unisco (in pratica la retta tangente sarà l'ipotenusa del triangolo rettangolo non so se mi son fatto capire) e poi mi calcolo (sempre con il righello) quanto è lungo il cateto parallelo all'asse y e quanta è lunga la base (parallela all'asse x) e ne faccio il rapporto per trovare approssimativamente la pendenza che sarà positiva se la curva cresce e negativa se la curva decresce.
A questo punto riporto sul grafico della derivata il punto di coordinate (x= punto in cui passa la retta tangente al grafico della funzione originaria e y= il valore di quella che secondo me è la pendenza)"
potrei pure evitarla?? è inutile o è proprio sbagliato io procedimento.
Basta solamente guardare gli intervalli di crescenza e decrescenza, gli eventuali flessi e le concavità per poter tracciare in linea di massima il grafico della derivata?
Grazie
ciao Rolitata!!!
secondo me ti fai troppi problemi è molto più semplice...
io mi ero a suo tempo segnato queste regolette che ti passo:
1) dove $ f(x) $ ha massimi o minimi o flessi a tangente orizzontale hai $ f'(x) $ nulla
2) dove $ f(x) $ è crescente hai $ f'(x) $>0
3) dove $ f(x) $ è decrescente hai $ f'(x) $<0
4) dove hai i flessi (cioè i cambi di concavità) hai massimi o minimi per la $ f'(x) $... questo perchè spesso e volentieri anche se non sempre, i flessi sono dove è $ f''(x)=0 $
5) dove è $ f''(x)>0 $ cioè concavità verso l'alto hai $ f'(x) $ crescente
6) dove è $ f''(x)<0 $ cioè concavità verso il basso hai $ f'(x) $ decrescente
queste 6 regolette ti bastano per disegnare "a naso" qualunque derivata se conosci la sua f(x)
In sostanza ti quoto "basta solamente guardare gli intervalli di crescenza e decrescenza, gli eventuali flessi e le concavità per poter tracciare in linea di massima il grafico della derivata" si è vero!!!!
l'ultimo disegno che hai fatto mi sembra giusto bravo!
ciao!!!
secondo me ti fai troppi problemi è molto più semplice...
io mi ero a suo tempo segnato queste regolette che ti passo:1) dove $ f(x) $ ha massimi o minimi o flessi a tangente orizzontale hai $ f'(x) $ nulla
2) dove $ f(x) $ è crescente hai $ f'(x) $>0
3) dove $ f(x) $ è decrescente hai $ f'(x) $<0
4) dove hai i flessi (cioè i cambi di concavità) hai massimi o minimi per la $ f'(x) $... questo perchè spesso e volentieri anche se non sempre, i flessi sono dove è $ f''(x)=0 $
5) dove è $ f''(x)>0 $ cioè concavità verso l'alto hai $ f'(x) $ crescente
6) dove è $ f''(x)<0 $ cioè concavità verso il basso hai $ f'(x) $ decrescente
queste 6 regolette ti bastano per disegnare "a naso" qualunque derivata se conosci la sua f(x)
In sostanza ti quoto "basta solamente guardare gli intervalli di crescenza e decrescenza, gli eventuali flessi e le concavità per poter tracciare in linea di massima il grafico della derivata" si è vero!!!!
l'ultimo disegno che hai fatto mi sembra giusto bravo!
ciao!!!
"rollitata":
Quindi secondo te la parte nella quale:
" prendo qualche punto della curva del grafico della funzione originaria e traccio con riga la retta tangente alla curva e quindi la parallela all'asse x ed unisco (in pratica la retta tangente sarà l'ipotenusa del triangolo rettangolo non so se mi son fatto capire) e poi mi calcolo (sempre con il righello) quanto è lungo il cateto parallelo all'asse y e quanta è lunga la base (parallela all'asse x) e ne faccio il rapporto per trovare approssimativamente la pendenza che sarà positiva se la curva cresce e negativa se la curva decresce.
A questo punto riporto sul grafico della derivata il punto di coordinate (x= punto in cui passa la retta tangente al grafico della funzione originaria e y= il valore di quella che secondo me è la pendenza)"
potrei pure evitarla?? è inutile o è proprio sbagliato io procedimento.
Basta solamente guardare gli intervalli di crescenza e decrescenza, gli eventuali flessi e le concavità per poter tracciare in linea di massima il grafico della derivata?
Grazie
Capisco che tu voglia disegnare il grafico nel modo più preciso possibile, ma ti si chiede solo il grafico approssimato. D'altronde come fai a trovare le coordinate esatte di un punto? Non sempre è semplice. E poi ... sei proprio convinto che la funzione e la sua derivata abbiano la stessa pendenza in un qualsiasi punto?
Mazzarri ha sintetizzato molto bene ciò che devi tener presente. Seguilo!
grazie Igiul!!
Grazie tante a tutti e due. Ora tutto mi e' piú chiaro.
Vediamo se ci siamo.
Allora ho il grafico della seguente funzione:
è possibile che il grafico della sua derivata è questo?
Vi ringrazio per ogni eventuale risposta.
Allora ho il grafico della seguente funzione:
è possibile che il grafico della sua derivata è questo?
Vi ringrazio per ogni eventuale risposta.
direi di si che è giusto
la tua funzione assomiglia alla tangente!!
la tua funzione assomiglia alla tangente!!
Grazie... gentilissimo come sempre!!!
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