Derivata

[stellacometa]

Ragazzi/e mi sapreste spiegare nel piu semplice modo possibile il significato geometrico di derivata nelle funzioni in 2 variabili?

Grazie a tutti per l'aiuto

[Nidhogg]

Ciao Piera!

Sia una funzione $z=f(x,y)$ di due variabili, definita in un insieme piano connesso $I$, e sia $y_0$ un valore della $y$ di $I$. Se allla variabile $y$ assegniamo il valore $y_0$, la funzione $z=f(x,y)$ diventa una funzione della sola variabile $x$, e cioè $z=f(x,y_0)$. Se questa funzione della sola variabile $x$ ammette derivata in tutti i punti di $I$ aventi per ordinata $y_0$, questa viene chiamata derivata parzial prima rispetto ad $x$ della $f(x,y)$. Per definizione è: $(delta f)/(delta x)=lim_{Deltax rarr 0} (f(x+Deltax,y_0)-f(x,y_0))/(Delta x)$. Questa definizione è analoga per la derivata prima rispetto ad $y$.

Saluti, Ermanno.

[stellacometa]

Grazie Ermy, fino qui mi è chiaro..Ma geometricamente parlando come posso spiegare il significato di Derivata??

Voglio dire, nelle funzioni in una variabile la spiego così: la derivata è il coefficente angolare della retta tangenta la funzione in un punto.

E in quella in 2 variabili??

[TomSawyer1]

Si parla di piano tangente alla curva, nelle funzioni in due variabili.

[stellacometa]

Me lo potresti spiegare tutto completo in modo semplice??

Mille Grazie

[Inmytime]

prendi una funzione definita sul piano xy a valori in z, considera un punto sulla superficie della funzione che ha come proiezione sul piano xy il punto xo,yo, e poi valuta il piano tangente alla superficie in quel punto. quel piano può incontrare o meno il piano xy: se non lo incontra la derivata è nulla, se lo incontra formerà con esso un angolo, la cui misura fornisce la derivata (o quantomeno è legata alla derivata dalla solita relazione valida in una dimensione)

[stellacometa]

mmmm...ragazzi scusate la mia ignoranza, ma proprio non riesco a capire! Si può fare un esempio anche di tipo grafico?

[Inmytime]

cosa non è chiaro? il piano tangente?

[stellacometa]

esatto!!

[Inmytime]

la prima cosa che ho trovato

http://www.matematicamente.it/analisi/piano_tangente_superficie.gif

[stellacometa]

WooW..Grazie..Questo chiarisce meglio!!

Nel mio libro viene spiegata così:



Me lo chiariresti? Passo per passo?

Thanks

[Inmytime]

ah, ma ti interessano le derivate parziali... quella che ti ho definito io è la derivata totale, comunemente detta gradiente (in realtà, per essere chiaro, avrei definito il modulo: il gradiente sarebbe per essere precisi il vettore normale al piano tangente, le cui componenti sono le derivate parziali). le derivate parziali si ottengono "affettando" la funzione lungo un piano perpendicolare al piano xy: questa operazione dà luogo ad una funzione in una variabile, la cui derivata è detta derivata direzionale. se il piano è parallelo all'asse x (y) e passante per yo (xo) si parla di derivata rispetto ad x (y), che è funzione di x (y), calcolata nel punto yo (xo).